Okrąg jako równanie

🎯 Po co Ci to?

Okrąg to zbiór punktów odległych o $r$ od środka, a odległość umiesz już liczyć (§15.1). Sklej te dwa fakty, a okrąg sam napisze swoje równanie. Od tej chwili jednym wstawieniem sprawdzisz, czy punkt leży na okręgu, wewnątrz czy na zewnątrz, a odbicie okręgu względem osi zmieni tylko znaki w nawiasach.

✅ Czego się nauczysz

• pisać i czytać równanie okręgu $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$;
• wyznaczać obraz okręgu w symetrii względem osi układu i względem początku układu;

📘 Wyjaśnienie

Punkt $(x, y)$ leży na okręgu o środku $S = (a, b)$ i promieniu $r$ dokładnie wtedy, gdy jego odległość od $S$ wynosi $r$. Wstaw wzór z §15.1 i podnieś do kwadratu:

📐 FAKT (równanie okręgu): $$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2.$$

Czytanie jest natychmiastowe: $(x-3)^2 + (y-2)^2 = 4$ to środek $(3, 2)$ i promień $\sqrt{4} = 2$ (uwaga: po prawej stoi $r^{2}$!). Znaki w nawiasach działają jak w §6.2; $(x-3)$ znaczy „środek przesunięty w prawo na $3$"; to dokładnie ta sama gramatyka przesunięć.

Obraz okręgu w symetrii. Symetria nie zmienia odległości, więc obraz okręgu to okrąg o tym samym promieniu; wystarczy odbić środek (§15.1). Okrąg $(x-3)^2 + (y-2)^2 = 4$ w symetrii względem osi $Oy$ ma środek $(-3, 2)$, więc równanie $(x+3)^2 + (y-2)^2 = 4$; w symetrii względem początku układu środek $(-3, -2)$ i równanie $(x+3)^2 + (y+2)^2 = 4$.

💭 Pomyśl: Czy punkt $(4, 4)$ leży na okręgu z ryciny, wewnątrz niego, czy na zewnątrz?

Sprawdź odpowiedź

Wstaw: $(4-3)^2 + (4-2)^2 = 1 + 4 = 5 > 4$; na zewnątrz (odległość od środka $\sqrt{5} > 2 = r$). Równanie okręgu to tester położenia: $=$ na okręgu, $<$ wewnątrz, $>$ na zewnątrz.

⚠️ Uwaga, pułapka

Po prawej stronie równania stoi $r^2$, nie $r$: okrąg $(x-1)^2 + y^2 = 25$ ma promień $5$ (pomyłka „$r = 25$" to klasyk). Znaki środka czytaj „na odwrót" jak w §6.2: $(x+2)^2$ znaczy $a = -2$.

📌 Najważniejsze w pigułce

• $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$: środek $(a,b)$ (znaki na odwrót), promień to pierwiastek z prawej strony.
• Tester położenia punktu: porównaj lewą stronę z $r^2$.
• Obraz okręgu w symetrii: ten sam promień, odbity środek.

🎒 Zadania

1. Podaj środek i promień: (a) $(x+5)^2 + (y-1)^2 = 49$; (b) $x^2 + y^2 = 10$.
2. Napisz równanie okręgu o środku $(2, -3)$ przechodzącego przez punkt $(5, 1)$.
3. Okrąg $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 9$ odbito symetrycznie względem osi $Ox$. Napisz równanie obrazu.

Rozwiązanie krok po kroku

1. (a) środek $(-5, 1)$, $r = 7$. (b) środek $(0,0)$, $r = \sqrt{10}$.

2. Promień = odległość środka od punktu: $r = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$: $;(x-2)^2 + (y+3)^2 = 25$.

3. Środek $(2, -1)$ przechodzi na $(2, 1)$, promień zostaje $3$: $;(x-2)^2 + (y-1)^2 = 9$.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

• napisać równanie okręgu ze środka i promienia (albo punktu na okręgu) i odczytać środek oraz promień z równania;
• wyznaczyć obraz okręgu w symetrii względem osi i początku układu;

---

---