Zdanie, które ma wartość
[poza podstawą]
🎯 Po co Ci to?
Wyobraź sobie, że kolega mówi: „to była niezła impreza". Prawda czy fałsz? Nie da się rozstrzygnąć, bo „niezła" znaczy co innego dla każdego. Codzienny język pływa w takich mgłach i to jest OK; poezja żyje z wieloznaczności. Ale matematyka nie może sobie na to pozwolić. Jeśli ma budować pewność, musi zaczynać od cegiełek, które są albo prawdziwe, albo fałszywe, i nic pomiędzy. Ta jednostka jest właśnie o takich cegiełkach: o zdaniu w sensie logicznym.
✅ Czego się nauczysz
Po tej jednostce potrafisz:
- odróżnić zdanie logiczne od pytania, rozkazu czy opinii;
- określić wartość logiczną zdania (prawda = 1, fałsz = 0);
- zbudować zaprzeczenie zdania i zrozumieć, dlaczego zaprzeczenie to nie to samo co przeciwieństwo.
📘 Wyjaśnienie
Zacznijmy od sortowania.
💭 Pomyśl: Które z tych wypowiedzi da się nazwać prawdziwą albo fałszywą? (1) „Warszawa jest stolicą Polski." (2) „Zamknij okno." (3) „Czy pada deszcz?" (4) „Liczba 7 jest parzysta." (5) „Matematyka jest piękna."
Sprawdź odpowiedź
Tylko (1) i (4). (1) jest prawdą, (4) jest fałszem, ale obie da się rozstrzygnąć. Rozkaz (2), pytanie (3) i opinia (5) nie mają wartości logicznej: nie mówią, że coś jest tak lub inaczej, więc nie ma czego oceniać.
To właśnie jest sedno. Zdanie logiczne to takie, o którym da się orzec: prawda albo fałsz.
📐 DEFINICJA (zdanie logiczne): to wypowiedź orzekająca, której można jednoznacznie przypisać jedną z dwóch wartości logicznych: prawdę (oznaczamy 1) albo fałsz (oznaczamy 0).
Po ludzku: zdanie, które coś stwierdza, i da się sprawdzić, czy stwierdza słusznie. Czym NIE jest: pytania, prośby, rozkazy i opinie nie są zdaniami logicznymi, bo nic nie orzekają.
Zauważ subtelność: zdanie „Liczba 7 jest parzysta" jest zdaniem logicznym, mimo że jest fałszywe. Fałsz to pełnoprawna wartość; cegiełka nie musi być prawdziwa, musi tylko dać się ocenić.
Zdania oznaczamy literkami: $p$, $q$, $r$. Zamiast pisać całe „Warszawa jest stolicą Polski" mówimy krótko „$p$", pamiętając, że $p$ ma jakąś wartość, tu akurat $1$.
Zaprzeczenie. Najprostsza rzecz, jaką można zrobić ze zdaniem, to je odwrócić. Zaprzeczenie (negacja) zdania $p$ to zdanie „nie jest prawdą, że $p$", zapisywane $\lnot p$. Jego wartość jest zawsze odwrotna do $p$:
| $p$ | $\lnot p$ |
|---|---|
| 1 | 0 |
| 0 | 1 |
Jeśli „7 jest liczbą pierwszą" jest prawdą, to „nieprawda, że 7 jest liczbą pierwszą" jest fałszem. Proste. A skoro negacja odwraca wartość, to zaprzeczenie zaprzeczenia wraca do punktu wyjścia: $\lnot(\lnot p)$ ma tę samą wartość co $p$. „Nieprawda, że nie pada" znaczy po prostu „pada".
⚠️ Uwaga, pułapka
Zaprzeczenie to nie to samo co przeciwieństwo. Zaprzeczeniem zdania „wszyscy zdali egzamin" nie jest „nikt nie zdał", to byłoby przeciwieństwo, drugi biegun. Zaprzeczenie jest słabsze i dokładniejsze: „nieprawda, że wszyscy zdali" znaczy tylko tyle, że przynajmniej jedna osoba nie zdała. Reszta mogła zdać śpiewająco.
Ta różnica wygląda niewinnie, a jest jedną z najczęstszych pomyłek w całej matematyce. Wrócimy do niej z pełnym aparatem w §1.3, gdzie „wszyscy" dostanie swój własny symbol, a wtedy zaprzeczanie stanie się mechaniczne i bezbłędne.
🛠️ Teraz Ty
Zapisz zaprzeczenie każdego zdania i podaj jego wartość logiczną.
- $p$: „Liczba 12 jest podzielna przez 5."
- $q$: „$3 + 4 = 7$."
- $r$: „Każdy kwadrat jest prostokątem."
Sprawdź
- $\lnot p$: „Liczba 12 nie jest podzielna przez 5." Wartość: $p$ jest fałszem, więc $\lnot p$ jest prawdą (1).
- $\lnot q$: „$3 + 4 \ne 7$." $q$ jest prawdą, więc $\lnot q$ jest fałszem (0).
- $\lnot r$: „Istnieje kwadrat, który nie jest prostokątem." (Uwaga, nie „żaden kwadrat nie jest prostokątem"!) Wartość: $r$ jest prawdą, więc $\lnot r$ jest fałszem (0). To ćwiczenie na pułapkę powyżej.
📌 Najważniejsze w pigułce
- Zdanie logiczne to wypowiedź, którą da się ocenić: prawda (1) albo fałsz (0).
- Pytania, rozkazy i opinie nie są zdaniami logicznymi.
- Negacja $\lnot p$ odwraca wartość; podwójna negacja wraca do początku.
- Zaprzeczenie ≠ przeciwieństwo. Zaprzeczenie „wszyscy" to „przynajmniej jeden nie", a nie „nikt".
🎒 Zadania
- Wskaż, które z poniższych są zdaniami logicznymi, i podaj ich wartość: (a) „$5 > 2$"; (b) „Rozwiąż to równanie."; (c) „Liczba $\pi$ jest wymierna."; (d) „Ale ładna pogoda!".
- Zbuduj zaprzeczenie: „Liczba 100 jest kwadratem pewnej liczby naturalnej." Podaj wartość obu zdań.
- Zdanie ma wartość 0. Jaką wartość ma jego potrójne zaprzeczenie $\lnot\lnot\lnot p$?
Rozwiązanie krok po kroku
1. Pytamy, czy wypowiedź coś ORZEKA (da się ocenić prawda/fałsz):
- (a) „$5>2$": orzeka, prawda ($1$).
- (b) „Rozwiąż to równanie": rozkaz, nic nie orzeka → nie jest zdaniem logicznym.
- (c) „Liczba $\pi$ jest wymierna": orzeka; $\pi$ jest niewymierna, więc fałsz ($0$). (Wciąż zdanie logiczne: fałsz to pełna wartość.)
- (d) „Ale ładna pogoda!" okrzyk/opinia → nie jest zdaniem logicznym.
2. $p$: „$100$ jest kwadratem liczby naturalnej"; prawda ($1$), bo $10^2=100$. Zaprzeczenie: „$100$ nie jest kwadratem żadnej liczby naturalnej"; fałsz ($0$), bo zaprzeczenie prawdy jest fałszem.
3. Każde „nie" odwraca wartość: $0 \to 1 \to 0 \to 1$. Trzy zaprzeczenia (liczba nieparzysta) odwracają wartość, więc $\lnot\lnot\lnot p = \mathbf{1}$.
🔍 Sprawdź, czy umiesz
- odróżnić zdanie logiczne od nie-zdania i podać jego wartość;
- napisać zaprzeczenie i wyjaśnić, czemu różni się od przeciwieństwa.