Pierwiastek: potęga w drugą stronę
🎯 Po co Ci to?
Znam pole kwadratowej działki: $16$ arów. Jaki ma bok? Szukam liczby, która podniesiona do kwadratu daje $16$. To odwrócenie potęgi, i właśnie do tego służy pierwiastek. Wszędzie tam, gdzie znasz wynik potęgowania, a szukasz podstawy, sięgasz po pierwiastek.
✅ Czego się nauczysz
- rozumieć pierwiastek jako odwrotność potęgi;
- łączyć pierwiastki z potęgami o wykładniku ułamkowym;
- uważać na pułapkę $\sqrt{a^2} = |a|$.
📘 Wyjaśnienie
📐 DEFINICJA (pierwiastek): $\sqrt[n]{a}$ (pierwiastek $n$-tego stopnia z $a$) to taka liczba, która podniesiona do potęgi $n$ daje $a$. Przy parzystym $n$ (np. $n=2$) bierzemy $a \ge 0$ i wynik nieujemny: $\sqrt{25}=5$, choć $(-5)^2$ też daje $25$. Przy nieparzystym $n$ pierwiastek istnieje dla każdej liczby: $\sqrt[3]{-8}=-2$. Dla stopnia drugiego piszemy krótko $\sqrt{a}$.
Np. $\sqrt{25} = 5$ (bo $5^2 = 25$), $\sqrt[3]{8} = 2$ (bo $2^3 = 8$). Pierwiastek to lustro potęgi: potęga „idzie w górę" ($a \to a^n$), pierwiastek „wraca w dół" ($a^n \to a$).
I tu domyka się §3.1: pierwiastek to po prostu potęga o wykładniku ułamkowym. $$\sqrt[n]{a} = a^{1/n}, \qquad \sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}.$$ Dlatego prawa działań na pierwiastkach to te same prawa potęg: $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{ab}$, $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$.
💭 Pomyśl: Ile wynosi $\sqrt{(-3)^2}$? Uważaj, to podchwytliwe.
Sprawdź odpowiedź
$\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3$, a nie $-3$! Pierwiastek (arytmetyczny) daje zawsze wynik nieujemny. Dlatego prawdziwa reguła to $\sqrt{a^2} = |a|$: pierwiastek „zjada znak", tak jak wartość bezwzględna z §2.3.
⚠️ Uwaga, pułapka
$\sqrt{a^2} = |a|$, nie $a$. Ta pozornie drobna różnica ratuje przed błędami wszędzie tam, gdzie pod pierwiastkiem może kryć się liczba ujemna. I druga rzecz: pierwiastka parzystego stopnia z liczby ujemnej w liczbach rzeczywistych nie ma ($\sqrt{-4}$ nie istnieje w ℝ), bo żadna liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu nie da ujemnego wyniku.
📌 Najważniejsze w pigułce
- $\sqrt[n]{a}$ = liczba, która do potęgi $n$ daje $a$; to odwrotność potęgowania.
- $\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$: pierwiastek = potęga o wykładniku ułamkowym.
- $\sqrt{a^2} = |a|$; pierwiastka parzystego stopnia z liczby ujemnej nie ma w ℝ.
🎒 Zadania
- Oblicz: $\sqrt{49}$, $\sqrt[3]{27}$, $\sqrt{\frac{9}{16}}$, $\sqrt[3]{-8}$.
- Zapisz jako potęgę: $\sqrt{a}$, $\sqrt[3]{a^2}$, $\frac{1}{\sqrt{a}}$.
- Uprość: $\sqrt{50}$ (wyłącz czynnik przed pierwiastek) oraz $\sqrt{a^2}$ dla $a = -7$.
Rozwiązanie krok po kroku
1. $\sqrt{49}=7$; $;\sqrt[3]{27}=3$; $;\sqrt{\tfrac{9}{16}}=\tfrac{3}{4}$; $;\sqrt[3]{-8}=-2$ (pierwiastek nieparzystego stopnia z ujemnej istnieje, bo $(-2)^3=-8$).
2. $\sqrt a=a^{1/2}$; $;\sqrt[3]{a^2}=a^{2/3}$; $;\tfrac{1}{\sqrt a}=a^{-1/2}$.
3. (a) $\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=\sqrt{25}\cdot\sqrt2=5\sqrt2$. (b) $\sqrt{(-7)^2}=|-7|=7$ (reguła $\sqrt{a^2}=|a|$, nie $-7$).
🔍 Sprawdź, czy umiesz
- obliczać pierwiastki i zamieniać je na potęgi ułamkowe;
- stosować regułę $\sqrt{a^2} = |a|$.