Logarytm: „do której potęgi podnieść?"

🎯 Po co Ci to?

Do której potęgi podnieść $2$, żeby dostać $1000$? Nie da się tego załatwić ani potęgą (tu szukamy wykładnika, nie wyniku), ani pierwiastkiem (nie szukamy podstawy). Potrzebujemy trzeciego sposobu zapytania o tę samą relację. To logarytm, i choć brzmi groźnie, to tylko jedno proste pytanie: „do której potęgi?".

✅ Czego się nauczysz

• rozumieć logarytm jako „szukany wykładnik";
• obliczać proste logarytmy z definicji;
• widzieć trójkąt: potęga ↔ pierwiastek ↔ logarytm;
• szacować logarytm między liczbami całkowitymi i udowodnić, że $\log_2 5$ nie jest liczbą wymierną.

📘 Wyjaśnienie

📐 DEFINICJA (logarytm): $\log_a b = c$ oznacza dokładnie to samo, co $a^c = b$. Po ludzku: $\log_a b$ to wykładnik, do którego trzeba podnieść podstawę $a$, żeby dostać $b$. (Zakładamy $a > 0$, $a \ne 1$, $b > 0$.)

Czytamy: „logarytm przy podstawie $a$ z liczby $b$". Kilka przykładów, żeby oswoić:

• $\log_2 8 = 3$, bo $2^3 = 8$;
• $\log_{10} 1000 = 3$, bo $10^3 = 1000$;
• $\log_{10} 0{,}01 = -2$, bo $10^{-2} = 0{,}01$;
• $\log_5 1 = 0$, bo $5^0 = 1$ (logarytm z jedynki to zawsze $0$).

Teraz zobacz trójkąt. Weź jedno równanie $a^c = b$ z trzema liczbami. Zależnie od tego, której szukasz, zadajesz inne pytanie:

Znasz	Szukasz	Narzędzie
$a$, $c$	$b$	potęga $b = a^c$
$b$, $c$	$a$	pierwiastek $a = \sqrt[c]{b}$
$a$, $b$	$c$	logarytm $c = \log_a b$

To jedna relacja oglądana z trzech stron. Logarytm nie jest niczym nowym ani strasznym, to po prostu „potęga rozwiązana względem wykładnika".

💭 Pomyśl: Ile wynosi $\log_3 81$? A $\log_2 \frac{1}{4}$?

Sprawdź odpowiedź

$\log_3 81 = 4$, bo $3^4 = 81$. $\log_2 \frac{1}{4} = -2$, bo $2^{-2} = \frac{1}{4}$. Za każdym razem pytasz: „do której potęgi?".

Nie każdy logarytm jest „ładny". Ile wynosi $\log_2 5$? Skoro $2^2 = 4 < 5 < 8 = 2^3$, to $2 < \log_2 5 < 3$. Może to jakiś ułamek? Nie, i da się to udowodnić dowodem nie wprost (§1.5):

Twierdzenie. $\log_2 5$ jest liczbą niewymierną.

Dowód. Przypuśćmy, że $\log_2 5 = \frac{p}{q}$, gdzie $p$ i $q$ są liczbami naturalnymi (dodatnimi, bo $\log_2 5 > 0$). Z definicji logarytmu $2^{p/q} = 5$. Podnieśmy obie strony do potęgi $q$ (§3.2): $2^p = 5^q$. Lewa strona jest parzysta (iloczyn $p$ dwójek, $p \ge 1$), prawa nieparzysta (iloczyn samych piątek). Liczba parzysta nie może równać się nieparzystej: sprzeczność. ∎

Ten sam manewr co przy $\sqrt{2}$ w §2.2: założenie „jest ułamkiem” prowadzi do równości, której nie da się spełnić.

🕰️ Skąd to się wzięło

Logarytmy wynalazł Szkot John Napier (Neper) około 1614 roku, z bardzo praktycznego powodu. Astronomowie i żeglarze tonęli w mnożeniu gigantycznych liczb: takie rachunki zajmowały godziny i roiły się od błędów. Napier zauważył, że logarytm zamienia mnożenie na dodawanie (więcej o tym w §3.5), a dodawać jest nieporównanie łatwiej. Efekt był tak wielki, że matematyk Pierre-Simon Laplace powiedział później, iż logarytmy, „skracając pracę, podwoiły życie astronoma". Z tego pomysłu wyrósł też suwak logarytmiczny: analogowy „kalkulator", którym inżynierowie liczyli aż do ery elektroniki (astronauci misji Apollo zabierali go jeszcze na pokład jako zapasowe narzędzie do rachunków).

📌 Najważniejsze w pigułce

• $\log_a b = c ;\Leftrightarrow; a^c = b$: logarytm to szukany wykładnik.
• Trójkąt: potęga (szukasz wyniku), pierwiastek (szukasz podstawy), logarytm (szukasz wykładnika).
• $\log_a 1 = 0$, $\log_a a = 1$.
• Logarytm bywa niewymierny: $2 < \log_2 5 < 3$, a założenie $\log_2 5 = \frac{p}{q}$ daje sprzeczność $2^p = 5^q$.

🎒 Zadania

1. Oblicz z definicji: $\log_2 16$, $\log_{10} 100000$, $\log_5 \frac{1}{25}$, $\log_7 1$.
2. Zapisz w postaci logarytmicznej: $3^4 = 81$; $10^{-3} = 0{,}001$.
3. Wyjaśnij, dlaczego $\log_a a = 1$ dla każdej dozwolonej podstawy.

Rozwiązanie krok po kroku

1. „Do której potęgi podnieść podstawę?": $\log_2 16=4$ ($2^4=16$); $;\log_{10}100000=5$; $;\log_5\tfrac{1}{25}=-2$ ($5^{-2}=\tfrac1{25}$); $;\log_7 1=0$ ($7^0=1$).

2. $3^4=81 \Rightarrow \log_3 81=4$; $;10^{-3}=0{,}001 \Rightarrow \log_{10}0{,}001=-3$.

3. $\log_a a=1$, bo pytamy „do której potęgi podnieść $a$, by dostać $a$?" Do pierwszej: $a^1=a$.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

• obliczyć prosty logarytm z definicji;
• przełożyć zapis potęgowy na logarytmiczny i odwrotnie;
• odtworzyć dowód niewymierności $\log_2 5$.

---