Wzory skróconego mnożenia

🎯 Po co Ci to?

Ile wynosi $(a + b)^2$? Kusi, żeby powiedzieć „$a^2 + b^2$", i to jest jeden z najczęstszych błędów w całej matematyce. Prawda jest inna, a najlepiej widać ją nie na literach, lecz na… kwadracie. Ta jednostka daje Ci trzy wzory, które warto znać na pamięć jak tabliczkę mnożenia, bo skracają rachunki, otwierają rozkład na czynniki i wracają potem wszędzie: w równaniach kwadratowych, w geometrii, w rachunku pochodnych.

✅ Czego się nauczysz

• znać i rozumieć trzy wzory skróconego mnożenia;
• widzieć wzór na kwadrat sumy geometrycznie;
• używać wzorów do szybkich rachunków i rozkładu na czynniki.

📘 Wyjaśnienie

Trzy wzory, które będziesz znał do końca życia: $$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, \qquad (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2, \qquad a^2 - b^2 = (a-b)(a+b).$$

Skąd bierze się to $2ab$ w pierwszym? Zobacz na obrazku. Weź kwadrat o boku $a+b$. Jego pole to $(a+b)^2$. Ale ten sam kwadrat dzieli się na cztery kawałki: pole $a^2$, pole $b^2$ i dwa identyczne prostokąty o polu $ab$ każdy. Stąd $a^2 + 2ab + b^2$; owo $2ab$ to właśnie dwa boczne prostokąty:

Nie musisz wierzyć wzorowi na słowo: widzisz go jako pole.

💭 Pomyśl: Policz w głowie $101^2$, korzystając ze wzoru na kwadrat sumy.

Sprawdź odpowiedź

$101^2 = (100+1)^2 = 100^2 + 2\cdot100\cdot1 + 1^2 = 10000 + 200 + 1 = 10201$. Bez wzoru mnożyłbyś w słupku; ze wzorem, w pamięci.

Trzeci wzór, różnica kwadratów $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, jest cichym bohaterem: zamienia różnicę na iloczyn (przydatne w rozkładaniu i skracaniu). Np. $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$.

⚠️ Uwaga, pułapka

$(a+b)^2 \ne a^2 + b^2$. To ta sama pułapka, co w §3.1 („potęgowanie nie jest rozdzielne względem dodawania"): bywa nazywana „marzeniem pierwszaka". Brakuje właśnie środkowego $2ab$, na obrazku to dwa całe prostokąty, których nie wolno zgubić. Sprawdź liczbowo: $(2+3)^2 = 25$, a $2^2 + 3^2 = 13$. Nie są równe.

📌 Najważniejsze w pigułce

• $(a\pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$: nie zapomnij o $2ab$.
• $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: różnica kwadratów zamienia się w iloczyn.
• $(a+b)^2 \ne a^2 + b^2$ (pułapka „pierwszaka").

🎒 Zadania

1. Rozwiń: $(x+4)^2$; $;(2a - 3)^2$; $;(y-5)(y+5)$.
2. Policz sprytnie ze wzoru: $99^2$; $;53 \cdot 47$ (wskazówka: $50\pm 3$).
3. Rozłóż na czynniki: $x^2 - 16$; $;4a^2 - 25$.

Rozwiązanie krok po kroku

1. (a) $(x+4)^2=x^2+8x+16$. (b) $(2a-3)^2=4a^2-12a+9$. (c) $(y-5)(y+5)=y^2-25$ (różnica kwadratów, tu $2ab$ znika).

2. (a) $99^2=(100-1)^2=10000-200+1=9801$. (b) $53\cdot47=(50+3)(50-3)=50^2-3^2=2500-9=2491$.

3. (a) $x^2-16=(x-4)(x+4)$. (b) $4a^2-25=(2a)^2-5^2=(2a-5)(2a+5)$.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

• rozwinąć kwadrat sumy/różnicy i rozłożyć różnicę kwadratów;
• wyjaśnić, skąd bierze się składnik $2ab$.

---