Wzory stopnia trzeciego i wyższe

🎯 Po co Ci to?

Skoro kwadrat sumy da się rozpisać, to sześcian też, i różnica sześcianów kryje elegancki rozkład, który przyda się przy wielomianach (Dział 8). To naturalne przedłużenie §4.2 o jedno piętro wyżej.

✅ Czego się nauczysz

• znać wzory na $(a\pm b)^3$;
• rozkładać sumę i różnicę sześcianów;
• rozkładać $a^n - b^n$ (i $a^n + b^n$ dla nieparzystych $n$) oraz wnioskować z tego o podzielności.

📘 Wyjaśnienie

Sześcian sumy i różnicy: $$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3, \qquad (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3.$$ Zwróć uwagę na współczynniki $1, 3, 3, 1$, to nie przypadek (spotkasz je jako „trójkąt Pascala" w kombinatoryce, Część V).

I dwa wzory na rozkład, bardzo przydatne: $$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2), \qquad a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2).$$

Podobnie jak różnica kwadratów, zamieniają one różnicę/sumę sześcianów na iloczyn, a to klucz do skracania ułamków i rozwiązywania równań wyższych stopni.

Dowolna potęga. Różnica kwadratów i różnica sześcianów to dwa piętra tej samej budowli. Dla każdego naturalnego $n \ge 2$:

📐 FAKT: $$a^n - b^n = (a - b)\left(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + \dots + ab^{n-2} + b^{n-1}\right).$$

Dowód. Wymnóż prawą stronę. Mnożenie przez $a$ daje $a^n + a^{n-1}b + \dots + ab^{n-1}$, mnożenie przez $-b$ daje $-a^{n-1}b - \dots - ab^{n-1} - b^n$. Wszystkie wyrazy środkowe występują raz z plusem i raz z minusem, więc się znoszą; zostaje $a^n - b^n$. $\blacksquare$

Dla nieparzystego $n$ podstaw $-b$ w miejsce $b$: skoro $(-b)^n = -b^n$, dostajesz rozkład sumy $$a^n + b^n = (a + b)\left(a^{n-1} - a^{n-2}b + \dots - ab^{n-2} + b^{n-1}\right),$$ ze znakami na przemian. Dla parzystego $n$ suma $a^n + b^n$ takiego rozkładu nie ma (spróbuj z $a^2 + b^2$).

Wniosek o podzielności. Jeśli $a$ i $b$ są liczbami całkowitymi, drugi nawias też jest liczbą całkowitą, więc $$a - b \mid a^n - b^n.$$ Stąd bez rachunków: $7^{100} - 2^{100}$ dzieli się przez $5$, a $10^n - 1$ (liczba z samych dziewiątek) przez $9$.

📌 Najważniejsze w pigułce

• $(a\pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3$ (współczynniki $1,3,3,1$).
• $a^3 \mp b^3 = (a \mp b)(a^2 \pm ab + b^2)$: rozkład sumy/różnicy sześcianów.
• $a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + b^{n-1})$; dla nieparzystych $n$ także $a^n + b^n$ z czynnikiem $a + b$.
• Dla całkowitych $a, b$: $a - b \mid a^n - b^n$.

🎒 Zadania

1. Rozwiń $(x+2)^3$.
2. Rozłóż na czynniki: $x^3 - 8$; $;27 + a^3$.
3. Sprawdź liczbowo wzór $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ dla $a=3$, $b=1$.
4. Rozłóż na czynniki: $x^5 + 32$.
5. Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej $n$ liczba $8^n - 3^n$ jest podzielna przez $5$.

Rozwiązanie krok po kroku

1. $(x+2)^3=x^3+3x^2\cdot2+3x\cdot4+8=x^3+6x^2+12x+8$ (współczynniki $1,3,3,1$).

2. (a) $x^3-8=x^3-2^3=(x-2)(x^2+2x+4)$. (b) $27+a^3=3^3+a^3=(3+a)(9-3a+a^2)$ (suma sześcianów: środkowy wyraz z minusem).

3. $a=3,b=1$: lewa $27-1=26$; prawa $(3-1)(9+3+1)=2\cdot13=26$. Zgadza się.

4. $32 = 2^5$, potęga nieparzysta: $x^5 + 2^5 = (x + 2)(x^4 - 2x^3 + 4x^2 - 8x + 16)$.

5. Z wniosku: $8 - 3 = 5$ dzieli $8^n - 3^n$, bo $8^n - 3^n = 5,(8^{n-1} + 8^{n-2}\cdot 3 + \dots + 3^{n-1})$, a nawias jest liczbą całkowitą. $\blacksquare$

---