Funkcja jako maszyna / związek

🎯 Po co Ci to?

Automat z napojami: wciskasz „B4", wypada woda. Wciskasz „C2", wypada sok. Automat, który po wciśnięciu „B4" czasem wydaje wodę, a czasem colę, oddałbyś do serwisu, bo na jego wyjściu nie można polegać. Matematyka zbudowała całą swoją nowoczesną część na maszynach, na których polegać można: każde wejście daje dokładnie jedno wyjście. Ta jednostka uczy rozpoznawać takie maszyny, i mówić o nich precyzyjnie.

✅ Czego się nauczysz

  • rozpoznawać, które przyporządkowanie jest funkcją, a które nie;
  • używać zapisu $f(x)$ i obliczać wartości funkcji;
  • wyznaczać dziedzinę (także „naturalną", ze wzoru) i zbiór wartości;
  • obliczać wartości funkcji określonej różnymi wzorami na różnych przedziałach.
  • (rozszerzenie) składać funkcje: $f(g(x))$.

📘 Wyjaśnienie

Zacznijmy od trzech maszyn:

  • Cennik: liczbie kilometrów kursu taksówki przypisuje cenę. Każdej liczbie kilometrów jedną cenę.
  • Termometr: każdej chwili doby przypisuje temperaturę. Jednej chwili jedną temperaturę (termometr nie pokazuje naraz $5°$ i $12°$).
  • Podwajacz: każdej liczbie przypisuje jej dwukrotność. Wrzucasz $3$, wypada $6$.

A teraz maszyna zepsuta: „uczniowi przypisz jego ocenę z klasówek". Jeden uczeń ma zwykle kilka ocen; wejście „Zosia" daje wiele wyjść naraz. To przyporządkowanie nie jest funkcją. Zepsuta jest też maszyna „liczbie dodatniej przypisz liczbę, której kwadrat jest jej równy": dla wejścia $9$ wypada i $3$, i $-3$. Znowu dwa wyjścia.

📐 DEFINICJA (funkcja): przyporządkowanie, które każdemu elementowi jednego zbioru przypisuje dokładnie jeden element drugiego zbioru. Zbiór dopuszczalnych wejść to dziedzina (oznaczamy $D$), a zbiór wszystkich wyjść, które faktycznie wypadają, to zbiór wartości (oznaczamy $ZW$).

wejściexmaszyna f„pomnóż przez 2,dodaj 3”wyjścief(x)42 · 4 + 311każde wejście daje dokładnie jedno wyjście
Schemat maszyny: do pudełka z napisem „maszyna f” wchodzi x, wychodzi f(x); w konkretnym przebiegu wejście 4 daje wyjście 11. · rys. własny

Zauważ: w definicji pracują oba kwantyfikatory z Działu 1: „każdemu wejściu" i „dokładnie jeden" (czyli „istnieje i jest tylko jeden"). Precyzyjny język z Części I właśnie się spłaca.

Funkcję zapisujemy krótko: $f(x) = 2x + 3$. Czytaj to jak instrukcję obsługi maszyny $f$: „weź wejście $x$, podwój, dodaj $3$". Wtedy:

$$f(1) = 2 \cdot 1 + 3 = 5, \qquad f(0) = 3, \qquad f(-4) = -5.$$

Zapis $f(1) = 5$ znaczy: „maszyna $f$ na wejściu $1$ daje wyjście $5$". Funkcję można też opisać tabelką, wykresem albo słowami; wzór to tylko jeden z kostiumów, w których funkcja występuje.

💭 Pomyśl: Dla $g(x) = x^2 - 2x$ oblicz $g(3)$ i $g(-1)$.

Sprawdź odpowiedź

$g(3) = 9 - 6 = 3$; $;g(-1) = (-1)^2 - 2\cdot(-1) = 1 + 2 = 3$. Dwa różne wejścia dały to samo wyjście, i to jest w porządku! Definicja zabrania tylko sytuacji odwrotnej: jedno wejście, wiele wyjść.

Skąd wiadomo, co wolno wrzucić do maszyny? Czasem mówi o tym treść zadania (liczba kilometrów nie bywa ujemna). A gdy mamy sam wzór, obowiązuje dziedzina naturalna: wszystkie liczby, dla których wzór w ogóle da się policzyć. Na razie masz dwa „zakazy" znane z Części I:

  • nie dziel przez zero, np. $f(x) = \frac{1}{x-3}$ ma dziedzinę $x \ne 3$;
  • nie pierwiastkuj (kwadratowo) liczb ujemnych, np. $g(x) = \sqrt{x+2}$ wymaga $x + 2 \ge 0$, czyli $x \ge -2$.

Jedna funkcja, kilka wzorów. Maszyna nie musi mieć jednego przepisu na wszystko. Taksówka liczy $10$ zł za start i $3$ zł za kilometr, ale po $20$ km stawka spada do $2$ zł: $$f(x) = \begin{cases} 10 + 3x & \text{dla } 0 \le x \le 20, \ 70 + 2(x - 20) & \text{dla } x > 20. \end{cases}$$ To wciąż jedna funkcja: każdemu $x$ odpowiada dokładnie jeden wzór, bo przedziały się nie nakładają. Liczysz w dwóch krokach: najpierw sprawdź, do którego przedziału należy wejście, potem użyj jego wzoru. $f(15) = 10 + 45 = 55$, a $f(25) = 70 + 10 = 80$. (Na granicy $x = 20$ oba wzory dają $70$, więc wykres się nie rwie; tak bywa, ale nie musi.)

Składanie maszyn (rozszerzenie). Maszyny można łączyć szeregowo: wyjście jednej staje się wejściem drugiej. Jeśli $g(x) = x + 3$, a $f(x) = x^2$, to $f(g(x)) = (x + 3)^2$: najpierw $g$ dodaje $3$, potem $f$ podnosi do kwadratu. To złożenie funkcji $f$ i $g$, zapisywane też $(f \circ g)(x)$. Kolejność ma znaczenie: $g(f(x)) = x^2 + 3$, a to inna funkcja. Dziedzina złożenia to te $x$, dla których $g(x)$ istnieje i trafia do dziedziny $f$: dla $f(x) = \sqrt{x}$ i $g(x) = x - 5$ złożenie $\sqrt{x - 5}$ wymaga $x \ge 5$.

⚠️ Uwaga, pułapka

„Różne wejścia dają różne wyjścia": to NIE jest wymóg definicji. Funkcja może sklejać: $f(x) = x^2$ daje $f(2) = f(-2) = 4$ i wciąż jest porządną funkcją. Zakazane jest tylko rozdwajanie: jedno wejście → dwa wyjścia.

🕰️ Skąd to się wzięło

Słowa „funkcja" pierwszy raz w sensie matematycznym użył Leibniz (ten od notacji, XVII w.), a wygodny zapis $f(x)$ zawdzięczamy Eulerowi (1734), temu samemu, który upowszechnił symbole $\pi$ i $e$. Przez długi czas „funkcja" znaczyła tyle co „wzór". Dopiero Dirichlet (XIX w.) postawił sprawę tak, jak uczysz się dziś: funkcja to dowolne przyporządkowanie „każdemu dokładnie jedno", choćby nie istniał żaden wzór, który je opisuje. To poszerzenie (od przepisu rachunkowego do czystego związku) otworzyło drzwi całej współczesnej analizie.

📌 Najważniejsze w pigułce

  • Funkcja = każdemu wejściu dokładnie jedno wyjście.
  • $f(x)$ to instrukcja maszyny; $f(2)$ to jej wyjście dla wejścia $2$.
  • Dziedzina = dopuszczalne wejścia; zbiór wartości = faktyczne wyjścia.
  • Dziedzina naturalna: wyklucz dzielenie przez $0$ i ujemne pod pierwiastkiem.
  • Sklejanie wyjść: wolno; rozdwajanie: nie.
  • Funkcja kilkoma wzorami: najpierw przedział, potem jego wzór.
  • (R) Złożenie $f(g(x))$: najpierw $g$, potem $f$; kolejność ma znaczenie.

🎒 Zadania

  1. Które przyporządkowania są funkcjami? (a) każdemu człowiekowi jego rok urodzenia; (b) każdemu rokowi człowieka, który się wtedy urodził; (c) każdej liczbie jej sześcian.
  2. Dla $f(x) = 3x - x^2$ oblicz $f(0)$, $f(3)$, $f(-2)$.
  3. Wyznacz dziedzinę naturalną: (a) $f(x) = \frac{5}{x+7}$; (b) $g(x) = \sqrt{10 - 2x}$.
  4. Funkcja $h$ przyjmuje wartość $h(x) = x^2$ dla $x < 1$ oraz $h(x) = 2x - 1$ dla $x \ge 1$. Oblicz $h(-3)$, $h(1)$ i $h(4)$.
  5. (R) Dla $f(x) = 2x - 1$ i $g(x) = x^2$ wyznacz wzory $f(g(x))$ i $g(f(x))$ oraz oblicz obie wartości dla $x = 2$.
Rozwiązanie krok po kroku

1. (a) TAK, każdy człowiek ma dokładnie jeden rok urodzenia. (b) NIE, w jednym roku rodzi się wielu ludzi (jedno wejście, wiele wyjść). (c) TAK: sześcian liczby jest jeden.

2. $f(0) = 0$; $f(3) = 9 - 9 = 0$; $f(-2) = -6 - 4 = -10$ (uwaga: $(-2)^2 = 4$, a przed nim minus z wzoru).

3. (a) mianownik $\ne 0$: $x \ne -7$; dziedzina to wszystkie liczby oprócz $-7$. (b) pod pierwiastkiem $\ge 0$: $10 - 2x \ge 0$, czyli $x \le 5$.

4. $-3 < 1$: $h(-3) = 9$. $;1 \ge 1$: $h(1) = 2 - 1 = 1$. $;h(4) = 8 - 1 = 7$.

5. $f(g(x)) = 2x^2 - 1$, $;g(f(x)) = (2x - 1)^2$. Dla $x = 2$: $f(g(2)) = 7$, $g(f(2)) = 9$. Różne wyniki: kolejność składania ma znaczenie.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

  • rozstrzygnąć, czy przyporządkowanie jest funkcją (i wskazać, gdzie się psuje);
  • obliczyć $f(a)$ ze wzoru (także gdy funkcja ma kilka wzorów) i wyznaczyć dziedzinę naturalną;
  • (rozszerzenie) złożyć dwie funkcje i wyznaczyć dziedzinę złożenia.

Ucz się tej jednostki z asystentem