Wykres — zdjęcie związku

🎯 Po co Ci to?

Lekarz patrzy na wykres tętna i w dwie sekundy wie, że o 3:00 w nocy coś się działo. Inwestor patrzy na wykres kursu i widzi całą historię spółki. Nikt z nich nie czyta tabelki z tysiącem liczb; patrzą na kształt. Wykres to zdjęcie funkcji: cała jej historia na jednym obrazku. Ta jednostka uczy robić i czytać takie zdjęcia.

✅ Czego się nauczysz

  • rozumieć, czym jest wykres funkcji (i co dokładnie na nim jest);
  • odczytywać z wykresu wartości, dziedzinę i zbiór wartości;
  • rozpoznawać, czy dana krzywa w ogóle może być wykresem funkcji.

📘 Wyjaśnienie

Pomysł jest prosty i genialny zarazem: weź dwie osie liczbowe (znasz je z §2.3), skrzyżuj je pod kątem prostym i umów się, że pozioma to wejścia, a pionowa to wyjścia. Każdą parę „wejście–wyjście" maszyny zaznacz jako punkt: wejście $x$ w poziomie, wyjście $f(x)$ w pionie.

📐 DEFINICJA (wykres funkcji): zbiór wszystkich punktów o współrzędnych $(x, f(x))$, gdzie $x$ przebiega całą dziedzinę.

Jeśli $f(2) = 3$, to punkt $(2, 3)$ leży na wykresie. Jeśli punkt $(5, -1)$ leży na wykresie, to $f(5) = -1$. Tyle. Cała reszta to wprawa w patrzeniu. Spójrz na przykład:

xy−5−4−3−2−11234−3−2−1123−430f(x) > 0f(x) < 0miejsca zerowe: x = −4, 0, 3
Wykres funkcji przecinający oś poziomą w punktach −4, 0 i 3; między −4 a 0 krzywa biegnie nad osią (tam f(x) > 0, pas podświetlony na niebiesko), między 0 a 3 pod osią (f(x) < 0, pas pomarańczowy). · rys. własny

Z tego jednego obrazka odczytasz: dla jakich wejść wyjście jest zerem (krzywa przecina oś poziomą: $x = -4$, $0$, $3$), gdzie wyjścia są dodatnie (krzywa nad osią), gdzie ujemne (pod osią), gdzie funkcja rośnie, a gdzie maleje. Nazwiemy to wszystko porządnie w §5.3, na razie po prostu zobacz, że to widać.

Jak sprawdzić, czy krzywa narysowana na papierze jest wykresem jakiejś funkcji? Przypomnij sobie definicję: jedno wejście, dokładnie jedno wyjście. Na obrazku znaczy to: każda pionowa prosta przecina wykres co najwyżej raz. Pionowa prosta to przecież pytanie „ile wynosi wyjście dla tego konkretnego $x$?", a odpowiedź może być tylko jedna. Okrąg oblewa ten test z hukiem: pionowa prosta przez jego środek przecina go w dwóch punktach. Okrąg jest piękną krzywą, ale wykresem funkcji nie jest.

💭 Pomyśl: Punkt $(1, 4)$ leży na wykresie funkcji $f$. Co to mówi o $f$? A czy punkt $(1, -2)$ może jednocześnie leżeć na tym samym wykresie?

Sprawdź odpowiedź

$(1, 4)$ na wykresie znaczy $f(1) = 4$. Punkt $(1, -2)$ leżeć nie może: oznaczałby $f(1) = -2$, a maszyna nie może dla wejścia $1$ dawać dwóch różnych wyjść. Na obrazku: oba punkty leżą na tej samej pionowej prostej $x = 1$.

⚠️ Uwaga, pułapka

Nie myl $f(2)$ z „tym $x$, dla którego $f(x) = 2$". Pierwsze to pytanie o wyjście dla wejścia $2$ (idziesz z punktu $2$ na osi poziomej pionowo do wykresu i odczytujesz wysokość). Drugie to pytanie o wejście dające wyjście $2$ (idziesz z wysokości $2$ na osi pionowej poziomo do wykresu i odczytujesz, nad którym $x$ jesteś). Kierunek czytania jest odwrotny, a odpowiedzi zwykle zupełnie inne.

🕰️ Skąd to się wzięło

Pomysł, by algebrę żenić z geometrią, opublikował w 1637 r. Kartezjusz (René Descartes), stąd „układ współrzędnych kartezjańskich". Legenda głosi, że leżąc w łóżku, obserwował muchę na suficie i uświadomił sobie, że jej położenie można opisać dwiema liczbami: odległościami od dwóch ścian. Czy mucha istniała naprawdę, nie wiadomo; na pewno istniał skutek. Od tej chwili każde równanie ma swój obraz, a wiele krzywych: swoje równanie. Bez tego mostu nie byłoby wykresów funkcji, map z siatką współrzędnych ani grafiki komputerowej, w której każdy piksel to para liczb.

📌 Najważniejsze w pigułce

  • Wykres = wszystkie punkty $(x, f(x))$; oś pozioma: wejścia, oś pionowa: wyjścia.
  • $(a, b)$ na wykresie $\iff f(a) = b$.
  • Test pionowej prostej: przecina wykres więcej niż raz → to nie jest wykres funkcji.
  • $f(2)$ (wyjście dla $2$) to co innego niż rozwiązanie $f(x) = 2$ (wejścia dające $2$).

🎒 Zadania

  1. Z wykresu z tej jednostki odczytaj: (a) $f(0)$; (b) wszystkie $x$, dla których $f(x) = 0$; (c) czy $f(-2)$ jest dodatnie, czy ujemne?
  2. Naszkicuj w zeszycie wykres funkcji $f(x) = 2x - 1$ dla $x \in {-1, 0, 1, 2}$ (cztery punkty) i sprawdź, że leżą na jednej prostej.
  3. Narysuj dowolną krzywą, która nie przechodzi testu pionowej prostej, i zaznacz prostą, która ją obala.
Rozwiązanie krok po kroku

1. (a) $f(0) = 0$: krzywa przechodzi przez początek układu. (b) $x = -4$, $x = 0$, $x = 3$, trzy przecięcia z osią poziomą. (c) dodatnie: nad punktem $-2$ krzywa biegnie nad osią.

2. Punkty: $(-1, -3)$, $(0, -1)$, $(1, 1)$, $(2, 3)$. Każdy krok o $1$ w prawo podnosi wyjście o $2$; punkty ustawiają się w linię (dlaczego zawsze tak jest przy wzorze $ax + b$, zobaczysz w §7.1).

3. Np. okrąg albo „leżąca" litera C; pionowa prosta przez środek przecina je dwa razy: jedno wejście miałoby dwa wyjścia.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

  • odczytać z wykresu wartość funkcji i rozwiązania równania $f(x) = 0$;
  • wyjaśnić test pionowej prostej jedną frazą z definicji funkcji.

Ucz się tej jednostki z asystentem