Symetrie funkcji

🎯 Po co Ci to?

Niektóre wykresy mają w sobie porządek, który czuć na pierwszy rzut oka: lewa strona jest lustrem prawej ($y = x^2$), albo obrócona o pół obrotu wersja prawej ($y = x^3$), albo ten sam motyw powtarza się bez końca jak tapeta (fale, które poznasz w Części III przy trygonometrii). Symetria to nie ozdoba, to zniżka na myślenie: znasz pół wykresu, znasz cały.

✅ Czego się nauczysz

• sprawdzać algebraicznie, czy funkcja jest parzysta lub nieparzysta;
• wiązać parzystość z symetrią wykresu;
• rozumieć, co znaczy, że funkcja jest okresowa.

📘 Wyjaśnienie

Porównaj wyjścia maszyny dla wejść $x$ i $-x$.

📐 DEFINICJA (funkcja parzysta): dla każdego $x$ z dziedziny $f(-x) = f(x)$ (wejścia przeciwne dają to samo wyjście). Funkcja nieparzysta: $f(-x) = -f(x)$ (wejścia przeciwne dają wyjścia przeciwne). Dziedzina musi być symetryczna względem zera.

Geometrycznie: parzysta ma wykres symetryczny względem osi pionowej (lustro), nieparzysta względem początku układu (obrót o $180°$). Nazwy nie są przypadkowe: $x^2, x^4, x^6$ są parzyste, a $x, x^3, x^5$ nieparzyste. Potęgi parzyste „gubią minus", nieparzyste go przepuszczają.

Sprawdzanie to czysty rachunek na literach (Część I pracuje). Dla $f(x) = x^4 - 3x^2$:

$$f(-x) = (-x)^4 - 3(-x)^2 = x^4 - 3x^2 = f(x)$$

czyli funkcja jest parzysta. Dla $g(x) = x^3 + x$: $;g(-x) = -x^3 - x = -(x^3 + x) = -g(x)$; nieparzysta. A $h(x) = x^2 + x$? $;h(-x) = x^2 - x$, co nie równa się ani $h(x)$, ani $-h(x)$ (sprawdź dla $x = 1$: $h(1) = 2$, $h(-1) = 0$). Funkcja nie musi być ani parzysta, ani nieparzysta; większość nie jest, tak jak większość liczb nie jest okrągła.

Trzecia symetria działa nie w lustrze, lecz w rytmie:

📐 DEFINICJA (funkcja okresowa): istnieje taka liczba $T > 0$ (okres), że $f(x + T) = f(x)$ dla każdego $x$ z dziedziny.

Przesuwasz wykres o $T$ w prawo, i nic się nie zmienia. Tak zachowuje się wszystko, co pulsuje: pory roku, tętno, prąd w gniazdku, dźwięk struny. Na porządne funkcje okresowe (sinus i spółkę) poczekasz do Części III, ale pojęcie masz już teraz.

💭 Pomyśl: Czy funkcja stała, $f(x) = 5$, jest parzysta? Nieparzysta? Okresowa?

Sprawdź odpowiedź

Parzysta: $f(-x) = 5 = f(x)$ ✓. Okresowa: $f(x + T) = 5 = f(x)$ dla każdego $T > 0$ ✓ (nie ma najmniejszego okresu, i to jest dopuszczalne). Nieparzysta nie jest: musiałoby być $5 = -5$. (A jedyna funkcja parzysta i nieparzysta naraz to $f(x) = 0$; wynika z $f(x) = -f(x)$.)

⚠️ Uwaga, pułapka

Parzystości nie sprawdzisz jednym przykładem. $h(x) = x^2 + x$ spełnia $h(-2) = 2 = h(1)$… i co z tego? Definicja żąda równości dla każdego $x$, a to (pamiętasz §1.5?) dowodzi się na literach, nie na próbkach. Za to obalić wystarczy jednym kontrprzykładem: $h(1) = 2 \ne 0 = h(-1)$ i po sprawie.

📌 Najważniejsze w pigułce

• Parzysta: $f(-x) = f(x)$; lustro względem osi $y$. Nieparzysta: $f(-x) = -f(x)$; obrót o $180°$ wokół początku.
• Sprawdzasz rachunkiem na $f(-x)$; obalasz kontrprzykładem.
• Większość funkcji nie ma żadnej z tych symetrii.
• Okresowa: $f(x + T) = f(x)$; wykres powtarza się co $T$.

🎒 Zadania

1. Zbadaj parzystość: (a) $f(x) = 3x^2 - 1$; (b) $g(x) = \frac{2}{x}$; (c) $h(x) = x^2 + 4x$.
2. Wykres funkcji nieparzystej przechodzi przez punkt $(3, -7)$. Przez jaki jeszcze punkt musi przechodzić?
3. Funkcja okresowa o okresie $T = 4$ spełnia $f(1) = 6$. Podaj $f(9)$ i $f(-3)$.

Rozwiązanie krok po kroku

1. (a) $f(-x) = 3x^2 - 1 = f(x)$: parzysta. (b) $g(-x) = \frac{2}{-x} = -g(x)$: nieparzysta (klasyk: hiperbola z Działu 9). (c) $h(-x) = x^2 - 4x$; dla $x=1$: $h(1) = 5$, $h(-1) = -3$, ani parzysta, ani nieparzysta.

2. Przez $(-3, 7)$: nieparzystość daje $f(-3) = -f(3) = 7$ (obrót punktu o $180°$ wokół początku układu).

3. $f(9) = f(9 - 4 - 4) = f(1) = 6$; $;f(-3) = f(-3 + 4) = f(1) = 6$. Okres pozwala „przewijać" argument o wielokrotności $4$.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

• zbadać parzystość/nieparzystość rachunkiem i zinterpretować ją na wykresie;
• użyć okresowości do obliczenia wartości w odległym punkcie.

---