Wektor na płaszczyźnie

🎯 Po co Ci to?

„Przesuń szafę o dwa metry w prawo i metr w głąb pokoju." W jednym zdaniu podałeś kierunek, zwrot i odległość, trzy informacje naraz. Matematyka pakuje je w jeden obiekt: strzałkę z dwoma liczbami, $[2, 1]$. Tak samo działa przeciąganie ikony na ekranie, ruch skoczka na szachownicy ($[1, 2]$ albo $[2, -1]$…) i (co dla nas najważniejsze) przenoszenie wykresów, którym zajmiemy się w §6.2.

✅ Czego się nauczysz

• zapisywać wektor jako parę liczb $[a, b]$ i rozumieć, co te liczby mówią;
• przesuwać punkt o wektor;
• znajdować wektor prowadzący z punktu do punktu i składać przesunięcia;
• mnożyć wektor przez liczbę, liczyć jego długość i dodawać wektory na rysunku.

📘 Wyjaśnienie

📐 DEFINICJA (wektor $[a, b]$): przepis przesunięcia na płaszczyźnie: o $a$ wzdłuż osi poziomej (w prawo, gdy $a > 0$; w lewo, gdy $a < 0$) i o $b$ wzdłuż osi pionowej (w górę lub w dół; znak decyduje).

Rysunkowo wektor to strzałka: ma początek, koniec, i nie obchodzi go, skąd startuje; liczy się tylko „o ile i dokąd". Strzałka $[3, 2]$ zaczepiona w $(1, 1)$ i taka sama zaczepiona w $(10, -5)$ to ten sam wektor.

Przesuwanie punktu to czyste dodawanie współrzędnych:

$$(x, y) \xrightarrow{[a,,b]} (x + a,\ y + b).$$

Punkt $A = (1, 1)$ przesunięty o $[3, 2]$ ląduje w $A' = (1+3,\ 1+2) = (4, 3)$: dokładnie jak na rysunku. A w drugą stronę: jaki wektor prowadzi z $A = (1, 1)$ do $B = (5, -2)$? Odejmij współrzędne (koniec minus początek): $[5 - 1,\ -2 - 1] = [4, -3]$.

Przesunięcia można składać: najpierw o $[1, 2]$, potem o $[-3, 5]$; razem o $[1 + (-3),\ 2 + 5] = [-2, 7]$. Wektory dodaje się po współrzędnych, tak jak wykonuje się dwa kroki jeden po drugim. Jest też cofanie: wektor przeciwny do $[a, b]$ to $[-a, -b]$, ten sam krok w drugą stronę.

Na rysunku dodawanie to reguła trójkąta: zaczep drugą strzałkę w końcu pierwszej; suma prowadzi od początku pierwszej do końca drugiej (równoważnie: przekątna równoległoboku rozpiętego na obu strzałkach). Mnożenie przez liczbę działa po współrzędnych: $k \cdot [a, b] = [ka, kb]$. Dla $k > 0$ strzałka zachowuje zwrot i wydłuża się $k$ razy, dla $k < 0$ odwraca zwrot; $2 \cdot [3, 2] = [6, 4]$ to ten sam kierunek i podwójny krok. Długość wektora odczytasz z Pitagorasa (§13.4), bo współrzędne to przyprostokątne: $$\big|[a, b]\big| = \sqrt{a^2 + b^2},$$ np. $|[3, -4]| = 5$.

💭 Pomyśl: O jaki wektor trzeba przesunąć punkt $(4, 3)$, żeby wrócił do $(1, 1)$?

Sprawdź odpowiedź

O $[-3, -2]$: wektor przeciwny do $[3, 2]$ z rysunku. Sprawdzenie: $(4 - 3,\ 3 - 2) = (1, 1)$ ✓.

🕰️ Skąd to się wzięło

Słowo wektor pochodzi od łacińskiego vehere: „nieść, wieźć" (ten sam rdzeń co w „wehikule"). Strzałka dosłownie niesie punkt w nowe miejsce. Rachunek wektorowy okrzepł dopiero w XIX wieku: rozwijali go m.in. Irlandczyk William Hamilton i Niemiec Hermann Grassmann, a paliwem była fizyka: siła, prędkość i przesunięcie mają kierunek, zwrot i wartość, więc zwykłe liczby ich nie udźwigną. Dziś na wektorach stoi grafika 3D, nawigacja i uczenie maszynowe; w Części IV spotkasz je znów, w geometrii analitycznej, w roli głównej, nie pomocniczej.

📌 Najważniejsze w pigułce

• Wektor $[a, b]$ = przepis „o $a$ w poziomie, o $b$ w pionie"; znaki wskazują stronę.
• Przesunięcie punktu: $(x, y) \mapsto (x+a,\ y+b)$.
• Wektor z $A$ do $B$: współrzędne $B$ minus współrzędne $A$.
• Składanie przesunięć = dodawanie wektorów po współrzędnych (na rysunku: reguła trójkąta); przeciwny cofa.
• $k \cdot [a, b] = [ka, kb]$; długość $\sqrt{a^2 + b^2}$.

🎒 Zadania

1. Przesuń punkt $P = (-2, 5)$ o wektor $[6, -8]$.
2. Znajdź wektor prowadzący z $A = (3, -1)$ do $B = (0, 4)$.
3. Wykonano kolejno przesunięcia o $[2, -3]$ i o $[a, b]$, a punkt wrócił na miejsce startu. Wyznacz $[a, b]$.
4. Dla $\vec{u} = [1, 3]$ i $\vec{v} = [4, -1]$ oblicz $2\vec{u} - \vec{v}$ i długość otrzymanego wektora.

Rozwiązanie krok po kroku

1. $(-2 + 6,\ 5 - 8) = (4, -3)$.

2. $[0 - 3,\ 4 - (-1)] = [-3, 5]$, trzy w lewo, pięć w górę.

3. Suma przesunięć musi być zerowa: $[2 + a,\ -3 + b] = [0, 0]$, więc $a = -2$, $b = 3$; wektor przeciwny do pierwszego.

4. $2\vec{u} - \vec{v} = [2 - 4,\ 6 + 1] = [-2, 7]$; długość $\sqrt{4 + 49} = \sqrt{53}$.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

• przesunąć punkt o wektor i znaleźć wektor między dwoma punktami;
• złożyć dwa przesunięcia w jedno;
• pomnożyć wektor przez liczbę i obliczyć jego długość.

---