Przesunięcie wykresu
🎯 Po co Ci to?
Parabolę $y = x^2$ narysujesz z pamięci. A $y = (x-2)^2 + 1$? Wygląda groźnie: dopóki nie zobaczysz, że to ta sama parabola, przeniesiona w inne miejsce. Umiejętność czytania wzoru jako „stary kształt + przeprowadzka" zamienia setki wykresów w kilka. W Dziale 7 dostaniesz z tego gotowy zysk: postać kanoniczna funkcji kwadratowej to dokładnie „parabola po przeprowadzce".
✅ Czego się nauczysz
- szkicować $y = f(x - a)$ i $y = f(x) + b$, mając wykres $y = f(x)$;
- łączyć oba ruchy w jedno przesunięcie: o $a$ w poziomie i o $b$ w pionie;
- rozumieć, dlaczego we wzorze na przesunięcie w prawo stoi minus.
📘 Wyjaśnienie
Ruch w pionie jest oczywisty: $y = f(x) + 3$ daje dla każdego wejścia wyjście o $3$ większe, więc cały wykres jedzie o $3$ w górę. Analogicznie $f(x) - 2$ zjeżdża o $2$ w dół. Nikt się tu nigdy nie myli.
Ruch w poziomie to co innego, tu mieszka najsłynniejsza pułapka tego działu. Przyjrzyj się:
We wzorze stoi $(x - 2)$, a wykres pojechał w prawo, w stronę dodatnią. Dlaczego minus daje ruch w prawo? Pomyśl maszyną z §5.1. Nowa maszyna $g(x) = f(x-2)$ najpierw odejmuje 2 od wejścia, a dopiero potem pyta starą maszynę $f$ o wynik. Żeby $g$ odtworzyła to, co $f$ robiła dla zera, musi dostać wejście $x = 2$, bo $g(2) = f(0)$. Wszystko, co działo się nad $0$, dzieje się teraz nad $2$: całe życie funkcji przesuwa się w prawo. Minus we wzorze to nie kierunek ruchu, tylko korekta wejścia.
Oba ruchy naraz dają jedno przesunięcie:
$$y = f(x - a) + b \quad\Longleftrightarrow\quad \text{wykres } f \text{ przesunięty o } a \text{ w poziomie i } b \text{ w pionie.}$$
[rozszerzenie] Parę „$a$ w poziomie, $b$ w pionie" zapisuje się krótko jako wektor $[a, b]$ (§6.1); wtedy całe przekształcenie to jedno przesunięcie o ten wektor.
Z rysunku: $y = (x-2)^2 + 1$ to $y = x^2$ przesunięte o $2$ w prawo i $1$ w górę; wierzchołek pojechał z $(0,0)$ do $(2,1)$.
Czytanie w obie strony jest równie ważne. Widzisz wzór $y = \sqrt{x+3} - 5$? To wykres $y = \sqrt{x}$ przesunięty o $3$ w lewo i $5$ w dół (uwaga: $x + 3 = x - (-3)$, więc $a = -3$, trzy w lewo). Masz narysować $y = |x - 4|$? Bierzesz znany „ptaszek" $y = |x|$ i wieziesz go o $4$ w prawo.
💭 Pomyśl: Dokąd przesunie się wierzchołek paraboli $y = x^2$ we wzorze $y = (x+3)^2 - 4$?
Sprawdź odpowiedź
Do punktu $(-3, -4)$: wewnątrz nawiasu $x + 3 = x - (-3)$, więc ruch o $3$ w lewo, a $-4$ na końcu to $4$ w dół.
⚠️ Uwaga, pułapka
Znak wewnątrz nawiasu działa „na odwrót", znak poza nawiasem: normalnie. $(x - 5)$ → w prawo o $5$; $(x + 5)$ → w lewo o $5$; $+5$ na końcu wzoru → w górę; $-5$ → w dół. Jeśli kiedyś zwątpisz, wykonaj test jednego punktu: znajdź, dla jakiego $x$ wnętrze nawiasu daje zero, tam wylądował dawny „punkt zerowy" kształtu.
📌 Najważniejsze w pigułce
- $y = f(x) + b$: ruch pionowy o $b$. $;y = f(x - a)$: ruch poziomy o $a$ (minus w nawiasie = w prawo).
- $y = f(x-a) + b$ = przesunięcie o $a$ w poziomie i $b$ w pionie.
- Minus w nawiasie to korekta wejścia maszyny, nie kierunek ruchu.
- Test kontrolny: wyzeruj wnętrze nawiasu; znajdziesz nowe położenie starego zera.
🎒 Zadania
- O ile i w którą stronę przesunięto wykres $y = f(x)$, otrzymując: (a) $y = f(x - 6)$; (b) $y = f(x + 1) - 7$; (c) $y = f(x) + 2$?
- Napisz wzór wykresu $y = x^2$ przesuniętego o $5$ w lewo i $3$ w górę.
- Wykres $y = \frac{1}{x}$ przesunięto o $2$ w prawo i $1$ w dół. Podaj wzór i wskaż, dla jakiego $x$ nowa funkcja nie ma wartości.
Rozwiązanie krok po kroku
1. (a) $6$ w prawo; (b) $1$ w lewo i $7$ w dół (bo $x + 1 = x - (-1)$); (c) $2$ w górę.
2. $y = (x - (-5))^2 + 3 = (x + 5)^2 + 3$. Kontrola: wnętrze nawiasu zeruje się dla $x = -5$, tam jest nowy wierzchołek ✓.
3. $y = \frac{1}{x - 2} - 1$. Mianownik zeruje się dla $x = 2$: dawny „zakaz" $x \ne 0$ pojechał razem z wykresem i jest teraz w $x = 2$ (dziedzina też się przesuwa!).
🔍 Sprawdź, czy umiesz
- odczytać przesunięcie ze wzoru i napisać wzór po przesunięciu;
- wyjaśnić własnymi słowami, czemu $(x-2)$ przesuwa w prawo.