Odbicia i symetrie

🎯 Po co Ci to?

Góry odbite w tafli jeziora: każdy szczyt ma pod wodą swoje lustrzane odbicie. Z wykresami jest tak samo, i wystarczy jeden znak minus we wzorze, by wykres przeskoczył na drugą stronę osi. Pytanie tylko: której? Odpowiedź zależy od tego, co minus dotyka: wyjście czy wejście maszyny.

✅ Czego się nauczysz

• szkicować $y = -f(x)$ i $y = f(-x)$, mając wykres $y = f(x)$;
• rozpoznawać, względem której osi zaszło odbicie;
• łączyć odbicia z przesunięciami w jeden opis.

📘 Wyjaśnienie

Dwa minusy, dwa różne lustra:

$y = -f(x)$: minus na wyjściu. Maszyna liczy po staremu, ale wynikowi odwraca znak. Punkt $(3, 5)$ wykresu ląduje w $(3, -5)$: to samo wejście, przeciwne wyjście. Cały wykres odbija się względem osi poziomej; góra staje się dołem, jak w jeziorze.

$y = f(-x)$: minus na wejściu. Zanim maszyna policzy, wejście zmienia znak. To, co $f$ robiła dla $x = 3$, nowa funkcja robi dla $x = -3$: punkt $(3, 5)$ przechodzi w $(-3, 5)$. Wykres odbija się względem osi pionowej; lewa strona zamienia się z prawą.

Zapamiętasz to bez kucia, jednym pytaniem: kogo dotyka minus? Dotyka $f$ (wyjścia) → odbicie „wyjściowej" osi, czyli poziomej. Dotyka $x$ (wejścia) → odbicie „wejściowej" osi, czyli pionowej.

Oba odbicia naraz, $y = -f(-x)$, obracają wykres o $180°$ wokół początku układu.

Brzmi znajomo? W §5.4 dokładnie tak wyglądała symetria funkcji nieparzystej, a parzystość znaczyła, że odbicie $f(-x)$ niczego nie zmienia. Symetrie funkcji i odbicia wykresów to dwie strony tej samej monety.

Odbicia wolno łączyć z przesunięciami z §6.2, wtedy czytaj wzór od środka na zewnątrz, jak instrukcję maszyny. Np. $y = -f(x - 3) + 2$: weź wykres $f$, przesuń o $3$ w prawo, odbij względem osi poziomej, podnieś o $2$.

💭 Pomyśl: Wykres $y = f(x)$ przechodzi przez punkt $(2, -6)$. Przez jaki punkt przechodzi wykres $y = -f(-x)$?

Sprawdź odpowiedź

Przez $(-2, 6)$, oba znaki się odwracają (obrót o $180°$ wokół początku układu). Krok po kroku: $f(-x)$ zabiera punkt do $(-2, -6)$, a minus przed całością podnosi go do $(-2, 6)$.

⚠️ Uwaga, pułapka

$-f(x)$ i $f(-x)$ brzmią niemal identycznie, a robią co innego. Gdy wątpisz, zrób test jednego punktu: weź z wykresu konkretny punkt, np. $(3, 5)$, i przepuść go przez wzór. $-f(3) = -5$ → punkt $(3, -5)$, odbicie w dół. $f(-3)$ to wartość nad $-3$ → punkt „przeskoczył" na lewo. Jeden punkt mówi więcej niż regułka.

📌 Najważniejsze w pigułce

• $y = -f(x)$: odbicie względem osi poziomej (minus na wyjściu).
• $y = f(-x)$: odbicie względem osi pionowej (minus na wejściu).
• $y = -f(-x)$: obrót o $180°$ wokół początku układu.
• Kogo dotyka minus: tej osi lustro. Łącząc z przesunięciami, czytaj wzór od środka.

🎒 Zadania

1. Wykres $y = f(x)$ przechodzi przez $(4, 1)$ i $(0, -3)$. Podaj odpowiadające punkty wykresów: (a) $y = -f(x)$; (b) $y = f(-x)$.
2. Jakim jednym przekształceniem otrzymasz wykres $y = -x^2$ z wykresu $y = x^2$? A co ciekawego daje tu $y = (-x)^2$?
3. Opisz słowami (kolejność ruchów), jak z wykresu $y = \sqrt{x}$ otrzymać wykres $y = -\sqrt{x + 4}$.

Rozwiązanie krok po kroku

1. (a) $(4, -1)$ i $(0, 3)$: zmienia się druga współrzędna. (b) $(-4, 1)$ i $(0, -3)$: zmienia się pierwsza; punkt na osi pionowej ($x = 0$) stoi w miejscu, bo $-0 = 0$.

2. Odbiciem względem osi poziomej (ramiona spadają w dół). A $(-x)^2 = x^2$: odbicie względem osi pionowej nic nie zmienia, bo $y = x^2$ jest parzysta; jej wykres sam jest swoim lustrem.

3. Wnętrze: $x + 4$ → przesunięcie o $4$ w lewo; potem minus przed pierwiastkiem → odbicie względem osi poziomej. Wykres startuje w $(-4, 0)$ i opada w prawo-w dół.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

• odbić wykres względem każdej z osi i przewidzieć obraz konkretnego punktu;
• odczytać z „wzoru złożonego" pełną listę ruchów we właściwej kolejności.

---