Rozciąganie, ściskanie, |f(x)| i f(|x|)

🎯 Po co Ci to?

Przesuwanie i odbijanie nie zmieniają kształtu: kostium najwyżej wisi gdzie indziej. Ale wzór potrafi też rozciągnąć wykres jak gumę albo złożyć go jak kartkę. Te cztery ruchy ($c \cdot f(x)$, $f(cx)$, $|f(x)|$, $f(|x|)$) domykają garderobę: z jednym kształtem w pamięci ubierzesz każdy wykres, jaki spotkasz w dalszej części przewodnika.

✅ Czego się nauczysz

• [poza podstawą] szkicować $y = c \cdot f(x)$ i $y = f(cx)$ oraz przewidywać, co robi wartość $c$;
• [poza podstawą] rysować $y = |f(x)|$ i $y = f(|x|)$ z wykresu $y = f(x)$;
• rozumieć zasadę: wyjście działa „normalnie", wejście „na odwrót".

📘 Wyjaśnienie

[poza podstawą] Żadnego z czterech przekształceń tej jednostki nie ma w wymaganiach podstawy programowej. Rozszerzenie wymienia tylko odbicia $y = -f(x)$ i $y = f(-x)$ z §6.3. Skalowanie przyda Ci się jednak przy wykresach funkcji trygonometrycznych (§12.5), bo tam wykresy i okresowość są wymagane; wykresy z modułem to poszerzenie warsztatu.

Skalowanie pionowe: $y = c \cdot f(x)$. Każde wyjście mnożymy przez $c$. Dla $c = 2$ wszystkie wysokości się podwajają; wykres rozciąga się pionowo (górki rosną, dolinki pogłębiają się). Dla $c = \frac{1}{2}$ spłaszcza. Miejsca zerowe stoją w miejscu: $2 \cdot 0 = 0$.

Skalowanie poziome: $y = f(cx)$. Znów zasada z §6.2: wejście działa na odwrót. $f(2x)$ to nie „dwa razy szerzej", lecz dwa razy węziej: nowa maszyna już przy $x = 1$ podaje starej wejście $2$, więc całe życie funkcji rozgrywa się na połowie szerokości. Analogicznie $f!\left(\frac{x}{2}\right)$ rozciąga wykres poziomo dwukrotnie.

Składanie kartki, wersja 1: $y = |f(x)|$. Wartość bezwzględna (pamiętasz §2.3: odległość, zawsze nieujemna) dotyka wyjścia: dodatnie zostawia, ujemne odwraca. Graficznie: wszystko, co było pod osią poziomą, odbija się nad nią; reszta bez zmian. Wykres wygląda, jakby dolne fragmenty „wynurzyły się" z wody.

Składanie kartki, wersja 2: $y = f(|x|)$. Moduł dotyka wejścia: dla $x \ge 0$ nic się nie dzieje, a dla $x < 0$ maszyna dostaje $|x|$, czyli wartość z prawej strony. Efekt: prawa połowa wykresu zostaje, a jej lustrzana kopia zastępuje lewą. Cokolwiek $f$ robiła dla ujemnych wejść, przepada. Wynik jest zawsze funkcją parzystą (§5.4): zbudowaliśmy ją z lustra.

💭 Pomyśl: Funkcja $f$ ma miejsca zerowe $x = -1$ i $x = 4$. Jakie miejsca zerowe ma $y = |f(x)|$, a jakie może mieć $y = f(|x|)$?

Sprawdź odpowiedź

$|f(x)|$: te same, $-1$ i $4$; moduł nie rusza zer (a wykres w tych punktach zwykle robi „dzióbek" zamiast gładko przechodzić). $f(|x|)$: z prawej połowy przeżywa tylko zero $x = 4$, ale lustro dorabia mu bliźniaka $x = -4$. Zero $x = -1$ przepada razem z całą lewą stroną. Odpowiedź: $\pm 4$.

⚠️ Uwaga, pułapka

We wzorze $y = |f(x)|$ i $y = f(|x|)$ moduł stoi w innym miejscu, a skutki są zupełnie inne. Ta sama mnemotechnika co przez cały dział: moduł na wyjściu porządkuje wysokości (nic pod osią), moduł na wejściu porządkuje strony (nic „własnego" po lewej). I uwaga rachunkowa: $|f(x)|$ nie wolno „upraszczać" do $f(x)$; równość zachodzi tylko tam, gdzie $f(x) \ge 0$.

📌 Najważniejsze w pigułce

• $c \cdot f(x)$: skala pionowa (duże $c$: wyżej); zera bez zmian.
• $f(cx)$: skala pozioma odwrotnie ($c = 2$ → dwa razy węziej).
• $|f(x)|$: fragmenty spod osi odbite w górę.
• $f(|x|)$: prawa połowa + jej lustro zamiast lewej; wynik zawsze parzysty.

🎒 Zadania

1. Wykres $y = f(x)$ przechodzi przez $(6, -2)$. Podaj odpowiadający punkt wykresu: (a) $y = 3f(x)$; (b) $y = f(3x)$; (c) $y = |f(x)|$.
2. Naszkicuj (schematycznie) $y = |x^2 - 4|$: zacznij od paraboli $y = x^2 - 4$ i opisz, co robi moduł.
3. Funkcja $g(x) = f(|x|)$ powstała z pewnej funkcji $f$. Wyjaśnij, czemu z wykresu $g$ nie da się odtworzyć, co $f$ robiła dla $x < 0$.

Rozwiązanie krok po kroku

1. (a) $(6, -6)$: wyjście razy $3$. (b) $(2, -2)$: żeby stara maszyna dostała $6$, nowej wystarczy $x = 2$. (c) $(6, 2)$: ujemne wyjście odbija się nad oś.

2. Parabola $y = x^2 - 4$ ma wierzchołek $(0, -4)$ i zera $\pm 2$. Moduł odbija „miskę" między $-2$ a $2$ do góry: powstaje kształt litery W z garbem sięgającym $4$ w miejscu dawnego dna i dzióbkami w $\pm 2$.

3. Moduł podaje maszynie $f$ wyłącznie wejścia nieujemne: wartości $f$ dla ujemnych argumentów nie zostawiają na wykresie $g$ żadnego śladu (lewa strona $g$ to kopia prawej). Informacja została bezpowrotnie nadpisana lustrem.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

• przewidzieć obraz punktu przy każdym z czterech przekształceń;
• [poza podstawą] naszkicować $|f(x)|$ i $f(|x|)$ z danego wykresu i uzasadnić różnicę.

---