Funkcja liniowa

🎯 Po co Ci to?

Taksówka: $9$ zł opłaty startowej i $4$ zł za każdy kilometr. Po $1$ km licznik pokaże $13$ zł, po $2$ km $17$ zł, po $3$ km $21$ zł. Zauważ rytm: każdy kilometr dokłada tyle samo. To jest świat stałego tempa, a każdy taki świat (abonamenty, wynajem, topnienie świecy, jazda autostradą) opisuje jedna i ta sama funkcja: liniowa. Dwie liczby wystarczą, by przewidzieć rachunek za dowolny kurs.

✅ Czego się nauczysz

• czytać wzór $f(x) = ax + b$: co mówi $a$, a co $b$;
• rozpoznawać z $a$, czy funkcja rośnie, maleje, czy stoi; liczyć miejsce zerowe;
• wyznaczać wzór prostej z dwóch punktów i stosować to w zadaniach „z życia".

📘 Wyjaśnienie

Przepis taksówki: $\text{cena} = 4 \cdot \text{kilometry} + 9$. Ogólnie:

📐 DEFINICJA (funkcja liniowa): funkcja postaci $f(x) = ax + b$, gdzie $a$ i $b$ to ustalone liczby. Jej wykresem jest prosta. Liczbę $a$ nazywamy współczynnikiem kierunkowym, a $b$ wyrazem wolnym.

Obie liczby mają czytelne role:

• $b$ to start: $f(0) = b$; tyle „kosztuje" samo wejście do gry (opłata startowa taksówki). Na wykresie: punkt przecięcia z osią pionową, $(0, b)$.
• $a$ to tempo: gdy $x$ rośnie o $1$, wartość zmienia się dokładnie o $a$; zawsze o tyle samo, niezależnie gdzie jesteś. Sprawdź: $f(x+1) - f(x) = a(x+1) + b - ax - b = a$. Stałe tempo to nie obserwacja, to twierdzenie.

Z tempa czytasz od razu zachowanie: $a > 0$: funkcja rosnąca (prosta pnie się w prawo-w górę), $a < 0$: malejąca, $a = 0$: stała ($f(x) = b$, pozioma kreska). A miejsce zerowe? Rozwiąż $ax + b = 0$: dla $a \ne 0$ wychodzi $x = -\frac{b}{a}$; jedno jedyne. Prosta przecina oś poziomą dokładnie raz (chyba że jest pozioma).

Skoro dwie liczby wyznaczają prostą, to dwa punkty wystarczą, by ją odtworzyć: przez dwa punkty przechodzi dokładnie jedna prosta. Niech prosta przechodzi przez $(1, 5)$ i $(3, 11)$. Tempo: między $x=1$ a $x=3$ wejście urosło o $2$, wyjście o $6$, więc na jednostkę: $a = \frac{11 - 5}{3 - 1} = 3$. Start: skoro $f(1) = 5$, to $5 = 3 \cdot 1 + b$, czyli $b = 2$. Wzór: $f(x) = 3x + 2$. Ten ułamek (zmiana wyjść przez zmianę wejść) wart jest zapamiętania jako sposób myślenia, nie formułka:

$$a = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}.$$

💭 Pomyśl: Kurs taksówki (z cennika wyżej) kosztował $37$ zł. Ile kilometrów przejechano?

Sprawdź odpowiedź

$4x + 9 = 37 \Rightarrow 4x = 28 \Rightarrow x = 7$ km. Odwróciłeś maszynę: znasz wyjście, szukasz wejścia.

⚠️ Uwaga, pułapka

„Funkcja liniowa zawsze przechodzi przez początek układu": nieprawda, chyba że $b = 0$. Przez $(0,0)$ przechodzi tylko proporcjonalność prosta $f(x) = ax$ (dwa razy większe wejście → dwa razy większe wyjście). Taksówka z opłatą startową proporcjonalna nie jest: za dwa razy dłuższy kurs płacisz mniej niż dwa razy więcej. Po drugie: dwie proste są równoległe dokładnie wtedy, gdy mają ten sam $a$; tempo decyduje o kierunku, start tylko przesuwa w pionie (to zwykłe $f(x) + c$ z §6.2).

📌 Najważniejsze w pigułce

• $f(x) = ax + b$: $;b$ = start ($f(0)$, przecięcie z osią pionową), $a$ = tempo (zmiana na jednostkę).
• $a > 0$ rosnąca, $a < 0$ malejąca, $a = 0$ stała; miejsce zerowe $x = -\frac{b}{a}$.
• Wzór z dwóch punktów: $a$ = przyrost wyjść / przyrost wejść, potem $b$ z jednego punktu.
• Ten sam $a$ = proste równoległe.

🎒 Zadania

1. Abonament komórkowy: $25$ zł miesięcznie plus $0{,}20$ zł za minutę rozmów. Napisz wzór na rachunek $R(m)$ po $m$ minutach i oblicz rachunek za $180$ minut.
2. Dla $f(x) = -2x + 8$: podaj monotoniczność, miejsce zerowe i punkt przecięcia z osią pionową.
3. Znajdź wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez punkty $(-1, 7)$ i $(2, 1)$.
4. Świeca ma $24$ cm i skraca się o $1{,}5$ cm na godzinę. Po ilu godzinach zgaśnie? Zapisz to jako pytanie o miejsce zerowe.

Rozwiązanie krok po kroku

1. $R(m) = 0{,}2m + 25$. $;R(180) = 36 + 25 = 61$ zł.

2. $a = -2 < 0$: malejąca. Zero: $-2x + 8 = 0 \Rightarrow x = 4$. Oś pionowa: $(0, 8)$.

3. $a = \frac{1 - 7}{2 - (-1)} = \frac{-6}{3} = -2$. Z punktu $(2, 1)$: $1 = -2 \cdot 2 + b \Rightarrow b = 5$. Wzór: $f(x) = -2x + 5$. Kontrola drugim punktem: $f(-1) = 2 + 5 = 7$ ✓.

4. Wysokość: $h(t) = 24 - 1{,}5t$. Zgaśnięcie = miejsce zerowe: $24 - 1{,}5t = 0 \Rightarrow t = 16$ godzin.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

• odczytać z $a$ i $b$ zachowanie funkcji i naszkicować prostą bez tabelki;
• wyznaczyć wzór z dwóch punktów i przełożyć treść zadania na $ax + b$.

---