Układy równań liniowych

🎯 Po co Ci to?

Na klasową wycieczkę kupiono $27$ biletów za łącznie $265$ zł: normalne po $15$ zł, ulgowe po $5$ zł. Ile było których? Jedna niewiadoma nie wystarczy: są dwie ($n$ i $u$), ale masz też dwie informacje (liczba biletów i kwota). Dwa równania, dwie niewiadome, i systematyczny sposób, żeby z tej pary wycisnąć odpowiedź. A geometria dorzuci obrazek: każde równanie to prosta, a rozwiązanie to punkt, w którym się spotykają.

✅ Czego się nauczysz

• zapisywać sytuacje z dwiema niewiadomymi jako układ równań;
• rozwiązywać układy metodą podstawiania i przeciwnych współczynników;
• widzieć układ geometrycznie: jedno rozwiązanie, brak, nieskończenie wiele.

📘 Wyjaśnienie

Bilety dają układ:

$$\begin{cases} n + u = 27 \ 15n + 5u = 265 \end{cases}$$

Metoda podstawiania: z prostszego równania wyznacz jedną niewiadomą i wstaw do drugiego. Z pierwszego: $u = 27 - n$. Wstawiamy: $15n + 5(27 - n) = 265$, czyli $15n + 135 - 5n = 265$, więc $10n = 130$, $n = 13$. Stąd $u = 14$. Kontrola: $15 \cdot 13 + 5 \cdot 14 = 195 + 70 = 265$ ✓.

Metoda przeciwnych współczynników: pomnóż równania tak, by przy jednej niewiadomej stały liczby przeciwne, i dodaj równania stronami. Pierwsze równanie razy $-5$: $;-5n - 5u = -135$. Dodajemy do drugiego: $10n = 130$, ta sama prosta droga, bez wyznaczania. Obie metody zawsze prowadzą do tego samego; wybieraj tę, która w danym układzie mniej brudzi.

Teraz obrazek. Każde równanie z osobna, np. $n + u = 27$, ma nieskończenie wiele rozwiązań, to wszystkie punkty pewnej prostej. Rozwiązanie układu to punkt wspólny obu prostych. A dwie proste na płaszczyźnie mogą się mieć tylko na trzy sposoby:

• przecinają się → dokładnie jedno rozwiązanie (układ oznaczony, jak bilety);
• są równoległe i różne → brak rozwiązań (układ sprzeczny); rachunkowo wyjdzie fałsz w rodzaju $0 = 7$;
• pokrywają się → nieskończenie wiele rozwiązań (układ nieoznaczony); rachunkowo $0 = 0$, czyli prawda bez treści.

Po §7.1 wiesz, kiedy co grozi: proste są równoległe, gdy mają ten sam współczynnik kierunkowy, więc np. układ $;y = 2x + 1,\ y = 2x - 4;$ jest sprzeczny bez liczenia.

💭 Pomyśl: Suma dwóch liczb wynosi $30$, a ich różnica $6$. Znajdź je układem, albo sprytniej.

Sprawdź odpowiedź

$x + y = 30$, $x - y = 6$. Dodaj stronami: $2x = 36$, $x = 18$, $y = 12$. (Spryt: dodanie równań to metoda przeciwnych współczynników w czystej postaci; $y$ i $-y$ same się znoszą.)

⚠️ Uwaga, pułapka

Rozwiązaniem układu jest para liczb, nie jedna liczba. Odpowiedź „$n = 13$" to pół odpowiedzi: zawsze podaj obie i sprawdź w obu równaniach (wstawienie tylko do jednego nie wykryje błędu z drugiego). I nie strasz się, gdy po przekształceniach zniknie niewiadoma: $0 = 7$ to pełnoprawna odpowiedź „brak rozwiązań", a $0 = 0$ to „nieskończenie wiele". Rachunek właśnie powiedział Ci, jak leżą proste.

📌 Najważniejsze w pigułce

• Dwie niewiadome wymagają dwóch niezależnych informacji → układ dwóch równań.
• Podstawianie: wyznacz i wstaw. Przeciwne współczynniki: pomnóż i dodaj stronami.
• Geometria: przecięcie / równoległe / pokrywanie = 1 / 0 / $\infty$ rozwiązań.
• Zniknięcie niewiadomych: fałsz → sprzeczny, prawda → nieoznaczony.

🎒 Zadania

1. Rozwiąż podstawianiem: $\begin{cases} y = x + 4 \ 3x + 2y = 23 \end{cases}$
2. Rozwiąż metodą przeciwnych współczynników: $\begin{cases} 2x + 3y = 12 \ 5x - 3y = 9 \end{cases}$
3. W gospodarstwie są kury i króliki: razem $35$ głów i $94$ nogi. Ile kur, ile królików?
4. Rozstrzygnij bez pełnego rachunku, ile rozwiązań ma układ: $\begin{cases} y = 3x - 2 \ 6x - 2y = 4 \end{cases}$

Rozwiązanie krok po kroku

1. Wstaw $y$: $3x + 2(x+4) = 23 \Rightarrow 5x = 15 \Rightarrow x = 3$, $y = 7$. Para $(3, 7)$.

2. Współczynniki przy $y$ już przeciwne: dodaj stronami: $7x = 21 \Rightarrow x = 3$; z pierwszego $6 + 3y = 12 \Rightarrow y = 2$. Para $(3, 2)$.

3. $k + r = 35$, $2k + 4r = 94$. Z pierwszego $k = 35 - r$; wstaw: $70 - 2r + 4r = 94 \Rightarrow 2r = 24 \Rightarrow r = 12$, $k = 23$. Kontrola nóg: $46 + 48 = 94$ ✓.

4. Drugie równanie podziel przez $2$: $3x - y = 2$, czyli $y = 3x - 2$; to samo równanie co pierwsze. Proste się pokrywają: nieskończenie wiele rozwiązań (każdy punkt prostej $y = 3x-2$).

🔍 Sprawdź, czy umiesz

• rozwiązać układ oboma metodami i sprawdzić parę w obu równaniach;
• rozpoznać układ sprzeczny i nieoznaczony: rachunkiem i „po współczynnikach".

---