Funkcja kwadratowa — trzy twarze

🎯 Po co Ci to?

Upuść piłkę: w pierwszej sekundzie przeleci około $5$ metrów, w drugiej już $15$, w trzeciej $25$. To nie jest stałe tempo; spadanie przyspiesza, a droga rośnie jak kwadrat czasu. Dlatego strumień fontanny, lot piłki i rzut oszczepem rysują łuk, nie prostą. Funkcja, która za tym stoi (kwadratowa), ma trzy równoważne „twarze" wzoru, a każda zdradza co innego na pierwszy rzut oka. Kto umie się między nimi przełączać, czyta parabolę jak otwartą książkę.

✅ Czego się nauczysz

• rozumieć, co w paraboli robi współczynnik $a$ i gdzie leży wierzchołek;
• czytać trzy postaci: ogólną, kanoniczną i iloczynową, i wiedzieć, którą o co pytać;
• przechodzić z postaci ogólnej do kanonicznej (uzupełnianie do kwadratu) i iloczynowej.

📘 Wyjaśnienie

📐 DEFINICJA (funkcja kwadratowa): funkcja postaci $f(x) = ax^2 + bx + c$, gdzie $a \ne 0$. Jej wykres to parabola: dla $a > 0$ z ramionami w górę (ma najniższy punkt), dla $a < 0$, w dół (ma najwyższy). Ten skrajny punkt to wierzchołek.

Najprostsza parabola to $y = x^2$: znasz ją z Działu 6. I tu niespodzianka, która spina oba działy: każda parabola $ax^2 + bx + c$ to zwykłe $y = ax^2$ po przeprowadzce (przesunięciu w poziomie i w pionie). Cała różnorodność funkcji kwadratowych to jeden kształt w różnych kostiumach. Zobaczmy to na przykładzie trzech twarzy jednej funkcji:

$$\underbrace{f(x) = 0{,}5x^2 - x - 1{,}5}{\text{ogólna}} ;=; \underbrace{0{,}5(x-1)^2 - 2}{\text{kanoniczna}} ;=; \underbrace{0{,}5(x+1)(x-3)}_{\text{iloczynowa}}$$

Każda twarz odpowiada na inne pytanie bez liczenia:

• Ogólna $ax^2 + bx + c$: podaje $c = f(0)$, czyli punkt przecięcia z osią pionową (na rysunku $-1{,}5$), i znak $a$ (ramiona).
• Kanoniczna $a(x - p)^2 + q$: podaje wierzchołek $W = (p, q)$ wprost, bo to zapis „$ax^2$ przesunięte o $p$ w poziomie i o $q$ w pionie" z §6.2. Na rysunku: $W = (1, -2)$.
• Iloczynowa $a(x - x_1)(x - x_2)$: podaje miejsca zerowe $x_1, x_2$ (na rysunku $-1$ i $3$); iloczyn zeruje się, gdy zeruje się któryś czynnik.

Do kompletu dwie darmowe obserwacje. Parabola jest symetryczna względem pionowej prostej przez wierzchołek (oś symetrii $x = p$), więc miejsca zerowe, jeśli są, leżą po równo z obu stron: $p = \frac{x_1 + x_2}{2}$. A monotoniczność czyta się z rysunku: do wierzchołka w jedną stronę, od wierzchołka w drugą.

Jak przełączać twarze? Iloczynową i kanoniczną wymnażasz, i masz ogólną. W drugą stronę do kanonicznej prowadzi uzupełnianie do kwadratu: sztuczka warta obejrzenia w zwolnionym tempie na $f(x) = x^2 - 4x + 3$:

$$x^2 - 4x + 3 = \underbrace{x^2 - 4x + 4}_{(x-2)^2} - 4 + 3 = (x-2)^2 - 1.$$

Zobacz, co się stało: $x^2 - 4x$ to prawie kwadrat $(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4$; brakowało mu $+4$. Dodaliśmy więc $4$ i natychmiast odjęliśmy (żeby niczego nie zmienić; stary trik „dodaj zero"). Wzór z §4.2 pracuje w odwrotną stronę: nie rozwijamy kwadratu, lecz go sklejamy. Wierzchołek: $W = (2, -1)$. A do postaci iloczynowej stąd już krok: $(x-2)^2 - 1 = 0$ daje $(x-2)^2 = 1$, więc $x - 2 = \pm 1$, czyli $x_1 = 1$, $x_2 = 3$, i $f(x) = (x-1)(x-3)$.

💭 Pomyśl: Nie licząc nic: jaki wierzchołek ma $g(x) = -2(x+4)^2 + 7$ i w którą stronę patrzą ramiona?

Sprawdź odpowiedź

$W = (-4, 7)$ (uwaga: $x + 4 = x - (-4)$, więc $p = -4$; pułapka znaku z §6.2 wraca), ramiona w dół, bo $a = -2 < 0$. Czyli $7$ to największa wartość tej funkcji.

🕰️ Skąd to się wzięło

Że tor rzuconego kamienia to dokładnie parabola, udowodnił Galileusz (początek XVII w.), rozkładając ruch na dwa niezależne: poziomy (jednostajny) i pionowy (przyspieszony). Zasłynął z eksperymentów na pochylniach; opowieść o zrzucaniu kul z krzywej wieży w Pizie przekazał jego uczeń Viviani i historycy do dziś spierają się, czy miała miejsce. Parabola okazała się potem jeszcze hojniejsza: promienie wpadające równolegle do „miski" parabolicznej skupiają się w jednym punkcie, dlatego anteny satelitarne, reflektory samochodów i lustra teleskopów mają kształt wycięty z paraboli.

📌 Najważniejsze w pigułce

• $f(x) = ax^2 + bx + c$, $a \ne 0$; wykres: parabola, ramiona wg znaku $a$, wierzchołek = punkt skrajny.
• Trzy twarze: ogólna zdradza $c = f(0)$; kanoniczna $a(x-p)^2 + q$ wierzchołek $(p, q)$; iloczynowa zera.
• Kanoniczna = „$ax^2$ po przeprowadzce o $p$ w poziomie i $q$ w pionie"; oś symetrii $x = p$; zera leżą symetrycznie.
• Do kanonicznej: uzupełnianie do kwadratu (dodaj i odejmij brakujący wyraz).

🎒 Zadania

1. Dla $f(x) = -3(x - 2)^2 + 12$ podaj: wierzchołek, kierunek ramion, największą lub najmniejszą wartość, $f(0)$.
2. Doprowadź do postaci kanonicznej: $f(x) = x^2 + 6x + 5$. Podaj wierzchołek i oś symetrii.
3. Napisz wzór (iloczynowy) funkcji kwadratowej o miejscach zerowych $-2$ i $5$, przechodzącej przez punkt $(0, 20)$.
4. Miejsca zerowe pewnej paraboli to $1$ i $9$. Podaj pierwszą współrzędną wierzchołka bez żadnych rachunków na wzorze.

Rozwiązanie krok po kroku

1. $W = (2, 12)$; $a = -3 < 0$: ramiona w dół, więc $12$ to wartość największa. $f(0) = -3 \cdot 4 + 12 = 0$: parabola przechodzi przez początek układu (czyli $0$ jest miejscem zerowym).

2. $x^2 + 6x + 5 = (x^2 + 6x + 9) - 9 + 5 = (x+3)^2 - 4$. Wierzchołek $(-3, -4)$, oś symetrii $x = -3$.

3. $f(x) = a(x+2)(x-5)$. Punkt $(0, 20)$: $a \cdot 2 \cdot (-5) = 20 \Rightarrow -10a = 20 \Rightarrow a = -2$. Wzór: $f(x) = -2(x+2)(x-5)$.

4. Zera leżą symetrycznie względem osi symetrii: $p = \frac{1 + 9}{2} = 5$.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

• odczytać z każdej z trzech postaci jej „darmową" informację;
• uzupełnić do kwadratu i wskazać wierzchołek oraz oś symetrii.

---