Optymalizacja bez pochodnych

🎯 Po co Ci to?

Masz $40$ metrów siatki i chcesz odgrodzić przy murze prostokątny wybieg: mur zastępuje jeden bok, siatka pozostałe trzy. Wybieg $5 \times 30$? Pole $150$ m². A $10 \times 20$? Pole $200$ m². Da się lepiej? Prób i błędów nie starczy: możliwości jest nieskończenie wiele. Ale jeśli pole zapiszesz jako funkcję kwadratową, odpowiedź na „ile najwięcej?" leży w jednym punkcie: w wierzchołku. Parabola to najprostsza na świecie maszyna do podejmowania najlepszych decyzji.

✅ Czego się nauczysz

• przekładać zadanie „ile najwięcej / najmniej" na funkcję kwadratową jednej zmiennej;
• odczytywać optimum z wierzchołka (z postaci kanonicznej albo z symetrii zer);
• pilnować dziedziny zadania: najlepszy wybór musi być wykonalny.

📘 Wyjaśnienie

Rozwiążmy wybieg do końca, bo w tym przykładzie jest cała metoda.

Krok 1: nazwij zmienną. Niech $x$ to długość każdego z dwóch boków prostopadłych do muru. Siatki jest $40$ m, więc na bok równoległy zostaje $40 - 2x$.

Krok 2: zapisz wielkość, o którą pytają. Pole: $P(x) = x(40 - 2x) = -2x^2 + 40x$. To funkcja kwadratowa z $a = -2 < 0$; ramiona w dół, więc ma wartość największą, dokładnie w wierzchołku.

Krok 3: dziedzina zadania. Boki muszą być dodatnie: $x > 0$ i $40 - 2x > 0$, czyli $x \in (0, 20)$. Poza tym przedziałem wzór dalej liczy, ale wybiegu nie ma.

Krok 4: znajdź wierzchołek. Najszybciej przez zera: $P(x) = -2x(x - 20)$ zeruje się w $x = 0$ i $x = 20$, a wierzchołek leży w połowie między zerami (symetria z §7.3): $p = 10$. Wartość: $P(10) = 10 \cdot 20 = 200$ m².

Krok 5: odpowiedz w języku zadania. Boki $10$ m, $10$ m i $20$ m; największe możliwe pole to $200$ m². (Nasz drugi strzał na oko był przypadkiem idealny, ale teraz wiemy, że lepszego nie ma. Czujesz różnicę między „znalazłem dobre" a „udowodniłem, że najlepsze"? To asymetria z §1.5 w wersji praktycznej.)

Ten sam schemat obsługuje ceny i przychody. Kino sprzedaje $300$ biletów po $20$ zł; każda złotówka podwyżki odstrasza $10$ widzów. Przychód przy podwyżce o $x$ zł: $U(x) = (20 + x)(300 - 10x)$; iloczynowa od ręki! Zera: $x = -20$ i $x = 30$, wierzchołek w $p = \frac{-20 + 30}{2} = 5$. Najlepsza cena: $25$ zł, przychód $U(5) = 25 \cdot 250 = 6250$ zł (zamiast $6000$).

💭 Pomyśl: Rozłóż liczbę $20$ na dwa składniki o największym iloczynie.

Sprawdź odpowiedź

Składniki $x$ i $20 - x$, iloczyn $I(x) = x(20-x)$: parabola z zerami $0$ i $20$, wierzchołek w $x = 10$. Największy iloczyn: $10 \cdot 10 = 100$. Z dwóch składników o stałej sumie najlepiej wypada remis, i to samo zjawisko widziałeś w wybiegu.

⚠️ Uwaga, pułapka

Wierzchołek to kandydat na optimum tylko wtedy, gdy leży w dziedzinie zadania. Gdyby przepisy żądały np. $x \ge 12$ (minimum $12$ m boku), to $x = 10$ odpada, a wtedy najlepsza jest wartość na brzegu przedziału ($x = 12$), bo po jednej stronie wierzchołka parabola już tylko opada. Zawsze rysuj w głowie: gdzie wierzchołek, gdzie moja dziedzina.

📌 Najważniejsze w pigułce

• Schemat: zmienna → wzór wielkości → dziedzina zadania → wierzchołek → odpowiedź słowami.
• $a < 0$: wierzchołek daje maksimum; $a > 0$: minimum.
• Wierzchołek najszybciej: $p = \frac{x_1 + x_2}{2}$ (symetria zer) albo z postaci kanonicznej.
• Optimum poza dziedziną → najlepszy jest brzeg.

🎒 Zadania

1. Liczbę $36$ rozłóż na dwa składniki tak, by ich iloczyn był największy.
2. Prostokąt ma obwód $48$ cm. Jakie wymiary dają największe pole i ile ono wynosi?
3. Sklep sprzedaje $80$ sztuk dziennie po $12$ zł; każda obniżka o $1$ zł dodaje $20$ sztuk sprzedaży. Jaka cena maksymalizuje dzienny przychód?
4. Z kawałka drutu $20$ m budujesz przy ścianie trzy boki prostokąta, ale żaden bok nie może być krótszy niż $6$ m. Znajdź największe możliwe pole. (Pilnuj dziedziny!)

Rozwiązanie krok po kroku

1. $I(x) = x(36 - x)$, zera $0$ i $36$, wierzchołek $x = 18$: $;18 + 18$, iloczyn $324$.

2. Boki $x$ i $24 - x$ (połowa obwodu). $P(x) = x(24-x)$, wierzchołek $x = 12$: kwadrat $12 \times 12$, pole $144$ cm². (Z prostokątów o danym obwodzie kwadrat jest najpojemniejszy.)

3. Cena $12 - x$, sprzedaż $80 + 20x$: $U(x) = (12 - x)(80 + 20x)$. Zera: $x = 12$ i $x = -4$; wierzchołek $x = 4$. Cena $8$ zł, przychód $8 \cdot 160 = 1280$ zł (bazowo było $960$).

4. Boki prostopadłe $x$, równoległy $20 - 2x$. Warunki: $x \ge 6$ i $20 - 2x \ge 6 \Rightarrow x \le 7$. Dziedzina: $[6, 7]$. Wierzchołek $P(x) = x(20-2x)$ leży w $x = 5$; poza dziedziną, na lewo. Na $[6, 7]$ parabola już opada, więc najlepszy brzeg lewy: $x = 6$, pole $6 \cdot 8 = 48$ m².

🔍 Sprawdź, czy umiesz

• przeprowadzić pełny schemat od treści zadania do odpowiedzi słowami;
• rozpoznać, kiedy optimum przejmuje brzeg dziedziny.

---