Równania i nierówności kwadratowe

🎯 Po co Ci to?

Dwa pytania o tę samą fontannę. „Po jakim czasie kropla spadnie do basenu?" to pytanie o konkretne chwile: równanie. „Kiedy kropla jest wyżej niż $2$ metry?" to pytanie o całe przedziały czasu: nierówność. Pierwsze pyta „ile?", drugie „gdzie?". W tej jednostce dostaniesz komplet narzędzi do obu, w tym słynną deltę, która jednym znakiem mówi, ile odpowiedzi w ogóle istnieje.

✅ Czego się nauczysz

• rozwiązywać równania kwadratowe: przez rozkład i przez wyróżnik $\Delta$;
• rozumieć, co znak $\Delta$ mówi o liczbie rozwiązań (i widzieć to na paraboli);
• rozwiązywać nierówności kwadratowe metodą „naszkicuj i odczytaj".

📘 Wyjaśnienie

Równanie kwadratowe to $ax^2 + bx + c = 0$. Czasem rozłożysz lewą stronę na czynniki od ręki (wzory z §4.2, wyłączanie): $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) = 0$, więc $x = 2$ lub $x = 3$. Ale co, gdy rozkład nie wpada do oka? Uzupełnianie do kwadratu z §7.3, wykonane raz na zawsze na literach, daje uniwersalny wynik:

📐 TWIERDZENIE (wzory na pierwiastki): dla $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \ne 0$) oblicz wyróżnik $\Delta = b^2 - 4ac$. Jeśli $\Delta > 0$: dwa rozwiązania $x = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ i $x = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$. Jeśli $\Delta = 0$: jedno, $x = \frac{-b}{2a}$. Jeśli $\Delta < 0$: brak rozwiązań.

Skąd te wzory? Podziel równanie przez $a$ i uzupełnij do kwadratu (§7.3):

$$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0 ;\Longrightarrow; \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a} = 0 ;\Longrightarrow; \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} = \frac{\Delta}{4a^2}.$$

Lewa strona to kwadrat, więc jest nieujemna, a mianownik $4a^2$ jest dodatni. Gdy $\Delta < 0$, prawa strona jest ujemna i rozwiązań nie ma. Gdy $\Delta = 0$, zostaje $x + \frac{b}{2a} = 0$. Gdy $\Delta > 0$, pierwiastkujemy: $x + \frac{b}{2a} = \pm\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}$, czyli $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$. $\blacksquare$ Każdy krok to rachunek, który już znasz; wzór jest tylko jego zapisem na zapas.

Skąd trzy przypadki na wykresie? Spójrz na parabolę. Równanie $f(x) = 0$ pyta, gdzie wykres przecina oś poziomą, a parabola może ją przeciąć dwa razy, dotknąć raz (wierzchołkiem) albo minąć. $\Delta$ to rachunkowy wykrywacz tych trzech scenariuszy. Nawiasem: $\frac{-b}{2a}$ to pierwsza współrzędna wierzchołka, przy $\Delta = 0$ parabola dotyka osi właśnie nim.

Przykład: $2x^2 - 3x - 2 = 0$. $;\Delta = 9 + 16 = 25$, $\sqrt{\Delta} = 5$: $;x = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2}$ lub $x = \frac{3 + 5}{4} = 2$.

Nierówność kwadratową rozwiązuje się jednym obrazkiem. Weź $x^2 - 5x + 6 \le 0$:

1. Zera: $x = 2$ i $x = 3$ (policzone wyżej).
2. Szkic: $a = 1 > 0$, ramiona w górę; parabola nurkuje pod oś między zerami.
3. Odczyt: $f(x) \le 0$ tam, gdzie wykres nie wystaje nad oś: $x \in [2, 3]$. Koniec.

Żadnych regułek „znak w środku, znak na zewnątrz", tylko szkic (dwie kreski i łuk, piętnaście sekund) i pytanie „nad czy pod?". Przy $a < 0$ parabola wisi garbem do góry i wszystko się odwraca, dlatego szkic, nie pamięć. A gdy $\Delta < 0$, parabola w ogóle nie dotyka osi: nierówność ma wtedy w rozwiązaniu wszystko albo nic. Np. $x^2 + x + 1 > 0$: $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$, ramiona w górę, cały wykres nad osią; nierówność prawdziwa dla każdego $x$.

💭 Pomyśl: Nie licząc $\Delta$: ile rozwiązań ma równanie $(x - 4)^2 = 0$, a ile $(x-4)^2 = -9$?

Sprawdź odpowiedź

$(x-4)^2 = 0$: jedno: $x = 4$ (parabola dotyka osi wierzchołkiem). $(x-4)^2 = -9$: żadnego, kwadrat nie bywa ujemny (§2.3/§3.2 wracają). Delta tylko ubiera te obserwacje w rachunek.

⚠️ Uwaga, pułapka

Nierówności nie wolno rozwiązywać „jak równania z $\ge$": z $x^2 \ge 9$ nie wynika $x \ge 3$! Kontrprzykład: $x = -5$ spełnia $x^2 \ge 9$, a nie spełnia $x \ge 3$. Poprawnie: zera $\pm 3$, ramiona w górę, nad osią na zewnątrz zer: $x \le -3$ lub $x \ge 3$. Kwadrat gubi znak wejścia (§3.2: $\sqrt{a^2} = |a|$), dlatego zawsze przez szkic.

🕰️ Skąd to się wzięło

Zadania „kwadratowe" rozwiązywali już Babilończycy około $4000$ lat temu, na glinianych tabliczkach zachowały się przepisy krok-po-kroku (bez liter, które przyjdą dopiero z Viète'em, §4.1). Al-Chwarizmi (IX w.) rozwiązywał je geometrycznie: dosłownie uzupełniał kwadrat: dorysowywał do figury brakujący narożnik, dokładnie tak, jak my dokładaliśmy $+4$ w §7.3, tylko nożyczkami zamiast algebry. Wzory z deltą to wielowiekowy finał tej historii: przepis Babilończyków, rysunek al-Chwarizmiego i litery Viète'a w jednej linijce.

📌 Najważniejsze w pigułce

• $\Delta = b^2 - 4ac$; $;\Delta > 0$: dwa pierwiastki, $\Delta = 0$: jeden, $\Delta < 0$: brak, bo parabola przecina / dotyka / mija oś.
• Wzory: $x = \frac{-b \mp \sqrt{\Delta}}{2a}$; szybciej bywa rozkład na czynniki.
• Nierówność: zera → szkic paraboli (znak $a$!) → odczyt „nad/pod".
• $\Delta < 0$ w nierówności: rozwiązaniem wszystko albo nic.

🎒 Zadania

1. Rozwiąż: (a) $x^2 - 7x + 10 = 0$; (b) $3x^2 + 5x - 2 = 0$; (c) $x^2 + 4x + 4 = 0$.
2. Dla jakich $x$ zachodzi $-x^2 + 4x - 3 \ge 0$?
3. Rozwiąż $x^2 + 2x + 5 < 0$ i wyjaśnij wynik jednym zdaniem o paraboli.
4. Kamień wyrzucono pionowo; jego wysokość po $t$ sekundach to $h(t) = 20t - 5t^2$ (w metrach). Kiedy kamień jest na wysokości co najmniej $15$ m?

Rozwiązanie krok po kroku

1. (a) rozkład: $(x-2)(x-5) = 0 \Rightarrow x \in {2, 5}$. (b) $\Delta = 25 + 24 = 49$: $x = \frac{-5 \pm 7}{6}$, czyli $x = \frac{1}{3}$ lub $x = -2$. (c) $\Delta = 16 - 16 = 0$: jedno rozwiązanie $x = -2$ (to $(x+2)^2 = 0$).

2. Zera $-x^2+4x-3 = 0 \iff x^2 - 4x + 3 = 0 \iff (x-1)(x-3) = 0$: $x = 1, 3$. Ramiona w dół ($a = -1$), więc nad osią między zerami: $x \in [1, 3]$.

3. $\Delta = 4 - 20 = -16 < 0$, ramiona w górę: parabola cała nad osią, nigdy pod nią. Brak rozwiązań.

4. $20t - 5t^2 \ge 15 \iff -5t^2 + 20t - 15 \ge 0 \iff t^2 - 4t + 3 \le 0$ (dzielenie przez $-5$ odwraca znak!) $\iff t \in [1, 3]$: między pierwszą a trzecią sekundą lotu.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

• rozwiązać równanie kwadratowe rozkładem i deltą, i wybrać szybszą drogę;
• rozwiązać nierówność szkicem i objaśnić przypadek $\Delta < 0$.

---