Wzory Viète'a i parametr

🎯 Po co Ci to?

Równanie $x^2 - 7x + 10 = 0$ rozwiązałeś w §7.5: pierwiastki $2$ i $5$. Zauważ: $2 + 5 = 7$, a $2 \cdot 5 = 10$; suma i iloczyn pierwiastków siedzą we współczynnikach, jeszcze zanim cokolwiek policzysz. To nie zbieg okoliczności, to twierdzenie. A najwięcej warte jest tam, gdzie zamiast liczb stoi parametr: „dla jakich $m$ równanie ma dwa pierwiastki dodatnie?" na maturze rozszerzonej to klasyka, a wzory Viète'a to jej klucz.

✅ Czego się nauczysz

  • używać wzorów Viète'a: suma i iloczyn pierwiastków ze współczynników;
  • czytać znaki pierwiastków bez ich obliczania;
  • rozwiązywać zadania z parametrem: warunki na $\Delta$, sumę i iloczyn.

📘 Wyjaśnienie

📐 TWIERDZENIE (wzory Viète'a): jeśli $ax^2 + bx + c = 0$ ma pierwiastki $x_1, x_2$ (dopuszczamy $x_1 = x_2$ przy $\Delta = 0$), to $$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \qquad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}.$$

Skąd to wiadomo? Z postaci iloczynowej (§7.3): $a(x - x_1)(x - x_2) = ax^2 - a(x_1 + x_2)x + a x_1 x_2$. Porównaj współczynniki z $ax^2 + bx + c$ (równość wielomianów!): $b = -a(x_1 + x_2)$ i $c = a x_1 x_2$. Dwie linijki, i twierdzenie gotowe.

Co z tego mamy? Wywiad o pierwiastkach bez ich łapania. Iloczyn $\frac{c}{a} < 0$? Pierwiastki mają różne znaki (i na pewno istnieją: sprawdź, że wtedy $\Delta = b^2 - 4ac > 0$ automatycznie). Iloczyn dodatni? Znaki zgodne, a o tym, czy oba plusy, czy oba minusy, rozstrzyga znak sumy. Do tego szybkie rachunki: dla $x^2 - 7x + 10$ suma kwadratów pierwiastków to $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 49 - 20 = 29$, bez wyznaczania $2$ i $5$ (wzór skróconego mnożenia z §4.2 w akcji).

Parametr to współczynnik, którego jeszcze nie znamy: litera w roli pokrętła. Równanie $x^2 - (m+1)x + m = 0$ opisuje całą rodzinę równań: inne $m$, inne równanie. Typowe pytanie: dla jakich $m$ równanie ma dwa różne pierwiastki dodatnie? Tłumaczymy warunki na język Viète'a:

  1. Dwa różne pierwiastki: $\Delta > 0$. Tu $\Delta = (m+1)^2 - 4m = m^2 - 2m + 1 = (m-1)^2$, więc $\Delta > 0 \iff m \ne 1$.
  2. Oba dodatnie: iloczyn dodatni i suma dodatnia: $x_1 x_2 = m > 0$ oraz $x_1 + x_2 = m + 1 > 0$.

Część wspólna: $m > 0$ i $m \ne 1$. Odpowiedź: $m \in (0, 1) \cup (1, \infty)$. Zauważ dyscyplinę: wszystkie warunki naraz, na końcu przecięcie. (Czemu nie starczy sam iloczyn? Bo $x^2 + 5x + 6$ ma iloczyn $6 > 0$… i oba pierwiastki ujemne: $-2, -3$. Suma $-5$ by to zdradziła.)

💭 Pomyśl: Bez rozwiązywania: jakie znaki mają pierwiastki $x^2 + 3x - 10 = 0$ i który jest „większy co do wartości"?

Sprawdź odpowiedź

Iloczyn $-10 < 0$: znaki różne. Suma $-3 < 0$: przeważa ujemny, więc to on jest dalej od zera. (Faktycznie: $x = -5$ i $x = 2$.)

⚠️ Uwaga, pułapka

Wzory Viète'a mówią o pierwiastkach, które istnieją: zanim ich użyjesz w zadaniu z parametrem, wymuś $\Delta \ge 0$ (albo $\Delta > 0$, gdy żądają różnych). Pominięcie tego warunku to najczęstszy błąd tych zadań: rachunek na sumie i iloczynie wyjdzie elegancko, tylko że… opisuje pierwiastki-widma, których nie ma.

📌 Najważniejsze w pigułce

  • $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$, $;x_1 x_2 = \frac{c}{a}$: prosto z porównania postaci ogólnej i iloczynowej.
  • Iloczyn ujemny → znaki różne; iloczyn dodatni → zgodne, a suma mówi które.
  • $x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$: licz o pierwiastkach, nie licząc pierwiastków.
  • Zadanie z parametrem = lista warunków ($\Delta$, suma, iloczyn) + część wspólna. $\Delta$ zawsze pierwsza.

🎒 Zadania

  1. Nie rozwiązując $2x^2 - 8x + 6 = 0$, podaj sumę, iloczyn i sumę kwadratów pierwiastków.
  2. Ustal znaki pierwiastków (o ile istnieją): (a) $x^2 - 4x + 3 = 0$; (b) $x^2 + x - 12 = 0$; (c) $x^2 + 2x + 5 = 0$.
  3. Dla jakich $m$ równanie $x^2 - 2mx + (m^2 - 1) = 0$ ma dwa różne pierwiastki? A dla jakich oba są ujemne?
Rozwiązanie krok po kroku

1. $x_1 + x_2 = \frac{8}{2} = 4$; $;x_1x_2 = \frac{6}{2} = 3$; $;x_1^2 + x_2^2 = 16 - 6 = 10$. (Dla kontroli: pierwiastki to $1$ i $3$.)

2. (a) $\Delta = 4 > 0$; iloczyn $3 > 0$, suma $4 > 0$: oba dodatnie. (b) $\Delta = 49 > 0$; iloczyn $-12 < 0$: różne znaki (suma $-1$: ujemny dalej od zera). (c) $\Delta = -16 < 0$: pierwiastków nie ma, i żadne wnioski z Viète'a nie przysługują.

3. $\Delta = 4m^2 - 4(m^2 - 1) = 4 > 0$ zawsze, dwa różne pierwiastki dla każdego $m$. Oba ujemne: iloczyn $m^2 - 1 > 0$ (czyli $m < -1$ lub $m > 1$) i suma $2m < 0$ (czyli $m < 0$). Część wspólna: $m < -1$.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

  • wyznaczyć sumę/iloczyn/sumę kwadratów pierwiastków bez ich liczenia;
  • ułożyć i przeciąć komplet warunków w zadaniu z parametrem (z $\Delta$ na czele).

Ucz się tej jednostki z asystentem