Dzielenie i schemat Hornera
🎯 Po co Ci to?
$173 : 8 = 21$, reszty $5$, czyli $173 = 8 \cdot 21 + 5$. Ta szkolna linijka to jedno z najpotężniejszych zdań arytmetyki: duży obiekt rozpisany przez mniejszy. Z wielomianami działa identycznie, i to właśnie dzielenie stanie się w §8.3 naszą strzelbą myśliwską: znajdziesz jeden pierwiastek, oddzielisz go dzieleniem, a zwierzyna zmaleje o stopień. Do tego poznasz schemat Hornera: tabelkę, która dzieli szybciej, niż piszesz.
✅ Czego się nauczysz
- rozumieć zapis $W(x) = P(x) \cdot Q(x) + R(x)$ (dzielna, dzielnik, iloraz, reszta);
- dzielić wielomian przez dwumian $x - a$ schematem Hornera;
- korzystać z faktu, że reszta z dzielenia przez $x - a$ to $W(a)$.
📘 Wyjaśnienie
Umowa jest taka sama jak przy liczbach:
📐 FAKT (dzielenie z resztą): dla wielomianów $W$ (dzielna) i $P \ne 0$ (dzielnik) istnieją jednoznaczne wielomiany $Q$ (iloraz) i $R$ (reszta) takie, że $$W(x) = P(x) \cdot Q(x) + R(x),$$ przy czym stopień $R$ jest mniejszy od stopnia $P$.
Nas najbardziej interesuje dzielnik najprostszy z możliwych: dwumian $x - a$ (stopień $1$). Wtedy reszta jest po prostu liczbą. I tu pierwsza perła. Wstaw do równości $W(x) = (x - a)Q(x) + R$ wejście $x = a$: czynnik $(a - a)$ zeruje całe pierwsze mnożenie i zostaje
$$W(a) = R.$$
Reszta z dzielenia przez $x - a$ to po prostu wartość wielomianu w $a$. Bez dzielenia! Chcesz resztę z dzielenia $W(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ przez $x - 2$? Policz $W(2) = 8 - 8 - 10 + 6 = -4$. Koniec.
A gdy potrzebny jest cały iloraz, wchodzi schemat Hornera. Pomysł: żeby policzyć $W(2)$, nie potęguj; składaj od lewej, mnożąc i dodając na przemian: weź $1$ (najstarszy współczynnik), pomnóż przez $2$, dodaj następny współczynnik, pomnóż przez $2$, dodaj następny… Tabelka dla $W(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ i $a = 2$:
| $1$ | $-2$ | $-5$ | $6$ | |
|---|---|---|---|---|
| $a = 2$ | $1$ | $2 \cdot 1 - 2 = 0$ | $2 \cdot 0 - 5 = -5$ | $2 \cdot (-5) + 6 = -4$ |
Czytanie wyniku: ostatnia liczba to reszta ($-4 = W(2)$ ✓), a wcześniejsze to współczynniki ilorazu, o stopień niższego: $Q(x) = x^2 + 0x - 5$. Czyli $x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x^2 - 5) - 4$. Jedna linijka tabelki wykonała całe dzielenie pisemne.
Skąd pewność, że tabelka zawsze działa? Niech $W(x) = a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0$ i $W(x) = (x - a)Q(x) + R$, gdzie $Q(x) = b_{n-1}x^{n-1} + \dots + b_0$. Wymnóż prawą stronę i porównaj współczynniki przy tych samych potęgach (równość wielomianów, §8.1): przy $x^n$ wychodzi $a_n = b_{n-1}$, przy $x^k$ dla $1 \le k \le n - 1$ wychodzi $a_k = b_{k-1} - a,b_k$, a wyraz wolny daje $a_0 = R - a,b_0$. Stąd wzory rekurencyjne $$b_{n-1} = a_n, \qquad b_{k-1} = a_k + a,b_k, \qquad R = a_0 + a,b_0,$$ czyli dokładnie przepis „pomnóż przez $a$ i dodaj następny współczynnik”. Tabelka Hornera to te wzory zapisane w jednym wierszu.
Spróbujmy z innym $a$, bo za chwilę będzie to ważne: $a = 1$: $;1 \to 1 \cdot 1 - 2 = -1 \to 1 \cdot (-1) - 5 = -6 \to 1 \cdot (-6) + 6 = \mathbf{0}$. Reszta zero! To znaczy: $W(x) = (x - 1)(x^2 - x - 6)$; dzielenie wyszło bez reszty, wielomian pękł na czynniki. Kiedy dokładnie reszta wychodzi zerowa i co z tego wynika, to już §8.3, próg polowania.
💭 Pomyśl: Nie wykonując dzielenia: jaka jest reszta z dzielenia $x^{100} + 3$ przez $x - 1$?
Sprawdź odpowiedź
$R = W(1) = 1^{100} + 3 = 4$. Dzielenie pisemne zajęłoby sto linijek; wartość w punkcie, trzy sekundy.
⚠️ Uwaga, pułapka
Dwie usterki gubią większość tabelek Hornera. Pierwsza: brakujący wagon. W $x^3 - 5x + 6$ nie ma wyrazu z $x^2$, do tabelki musi wejść jego współczynnik $0$ ($1, 0, -5, 6$), inaczej wszystko się przesunie. Druga: znak $a$. Dzielisz przez $x + 3$? To jest $x - (-3)$, więc do tabelki wchodzi $a = -3$, nie $3$. Dwumian zawsze najpierw przeczytaj w postaci $x - a$.
🕰️ Skąd to się wzięło
Schemat nosi nazwisko Anglika Williama Hornera (1819), ale historia zna go dużo starzej: chiński matematyk Qin Jiushao opisał tę metodę już w XIII wieku, a niezależnie używał jej Włoch Paolo Ruffini. Nazwy w matematyce bywają loterią; wygrywa nie pierwszy, lecz ten, którego akurat czytano. Sama sztuczka jest zaś ponadczasowa: komputery do dziś liczą wartości wielomianów „po hornerowsku", bo $n$ mnożeń zamiast potęgowań to najkrótsza znana droga.
📌 Najważniejsze w pigułce
- $W = P \cdot Q + R$, stopień $R$ < stopień $P$; dla $P = x - a$ reszta jest liczbą.
- Reszta z dzielenia przez $x - a$ równa się $W(a)$: wartość zamiast dzielenia.
- Horner: mnóż przez $a$, dodawaj kolejny współczynnik; ostatnia liczba = reszta, wcześniejsze = iloraz.
- Braki uzupełniaj zerami; $x + 3$ znaczy $a = -3$.
🎒 Zadania
- Schematem Hornera podziel $W(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5$ przez $x - 2$. Podaj iloraz i resztę.
- Oblicz resztę z dzielenia $W(x) = x^4 - 3x^2 + 7$ przez $x + 1$, bez tabelki.
- Dla jakiej wartości $c$ wielomian $x^3 + cx + 10$ dzieli się przez $x - 2$ bez reszty?
Rozwiązanie krok po kroku
1. Współczynniki $2, -3, 1, -5$; $a = 2$: $;2 \to 2\cdot2-3 = 1 \to 2\cdot1+1 = 3 \to 2\cdot3-5 = 1$. Iloraz $2x^2 + x + 3$, reszta $1$. Zapis: $W(x) = (x-2)(2x^2+x+3) + 1$.
2. $x + 1 = x - (-1)$, więc $R = W(-1) = 1 - 3 + 7 = 5$ (potęgi parzyste gubią minus).
3. „Bez reszty" znaczy $W(2) = 0$: $;8 + 2c + 10 = 0 \Rightarrow c = -9$. (Reszta-jako-wartość zamienia zadanie o dzieleniu w proste równanie.)
🔍 Sprawdź, czy umiesz
- podzielić wielomian przez $x - a$ Hornerem i zapisać wynik w postaci $W = (x-a)Q + R$;
- obliczyć resztę wartością $W(a)$, pamiętając o znaku przy $x + a$.