Rozkład na czynniki i równania wielomianowe

🎯 Po co Ci to?

Rozwiąż: $x^3 = x$. Kusi podzielić obie strony przez $x$: zostaje $x^2 = 1$, czyli $x = \pm 1$. Elegancko, szybko… i źle: zgubiłeś rozwiązanie $x = 0$ (sprawdź: $0^3 = 0$ ✓). Dzielenie przez niewiadomą to cichy zabójca rozwiązań. Ta jednostka zbiera wszystkie techniki rozkładu w jeden warsztat i uczy jedynej niezawodnej liturgii równań wielomianowych: wszystko na jedną stronę, rozłóż, czynnik po czynniku.

✅ Czego się nauczysz

  • dobierać technikę rozkładu: wyłączanie, wzory, grupowanie, Bézout, podstawienie;
  • rozwiązywać równania wielomianowe przez iloczyn równy zeru;
  • rozumieć, czemu nie wolno dzielić równania przez wyrażenie z niewiadomą.

📘 Wyjaśnienie

Fundament jest jeden i znasz go od dawna:

$$\text{iloczyn} = 0 \iff \text{któryś czynnik} = 0.$$

Dlatego strategia brzmi: doprowadź do $\text{(czynniki)} = 0$ i przesłuchaj każdy czynnik osobno. Wracając do pułapki ze wstępu, poprawnie:

$$x^3 = x ;\Rightarrow; x^3 - x = 0 ;\Rightarrow; x(x^2 - 1) = 0 ;\Rightarrow; x(x-1)(x+1) = 0 ;\Rightarrow; x \in {0, 1, -1}.$$

Zero nie zginęło, bo nikt go nie wydzielił. Zapamiętaj mechanizm błędu: dzielenie przez $x$ jest legalne tylko przy $x \ne 0$; wykonując je, po cichu zakładasz, że $x = 0$ nie jest rozwiązaniem, a właśnie było.

Twój warsztat rozkładu, w kolejności prób:

  1. Wyłącz, co wspólne (zawsze najpierw): $2x^4 - 8x^2 = 2x^2(x^2 - 4)$.

  2. Wzory skróconego mnożenia (§4.2): $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$. W rozszerzeniu dochodzą sześciany (§4.3): $x^3 + 8 = (x+2)(x^2 - 2x + 4)$.

  3. Grupowanie: sparuj wyrazy tak, by wyszedł wspólny nawias: $$x^3 - 2x^2 - 5x + 10 = x^2(x - 2) - 5(x - 2) = (x-2)(x^2 - 5).$$

  4. Bézout + Horner (§8.3), gdy sprytniejsze drogi zawiodą: zgadnij pierwiastek, wydziel czynnik.

  5. Podstawienie: równanie $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ ma tylko parzyste potęgi: podstaw $t = x^2$ ($t \ge 0$!), rozwiąż $t^2 - 5t + 4 = 0$ (czyli $t = 1$ lub $t = 4$), wróć: $x^2 = 1$ lub $x^2 = 4$, więc $x \in {\pm 1, \pm 2}$. Cztery rozwiązania z jednej delty.

Na koniec pełne polowanie: $x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0$. Grupowanie nie chwyta (sprawdź), więc Bézout: $W(1) = 0$, Horner daje $(x-1)(x^2 - x - 6)$, delta łamie resztę: $(x-1)(x-3)(x+2) = 0$. Rozwiązania: ${1, 3, -2}$, te same, które §8.3 obiecywał.

💭 Pomyśl: Ile najwięcej pierwiastków może mieć wielomian stopnia $n$? Podpowiedź: każdy pierwiastek to czynnik $(x - a)$, a stopnie czynników się sumują.

Sprawdź odpowiedź

Co najwyżej $n$. Każdy pierwiastek funduje czynnik stopnia $1$, a iloczyn czynników nie może przerosnąć stopnia wielomianu. Równanie stopnia trzeciego nigdy nie ma czterech rozwiązań, dlatego znalezienie trzech kończy robotę na pewno.

⚠️ Uwaga, pułapka

Przy podstawieniu $t = x^2$ wracaj do $x$ do końca: odpowiedzią są wartości $x$, nie $t$. I odrzucaj $t < 0$; równanie $x^2 = -3$ nie ma rozwiązań, więc ujemne $t$ to ślepy zaułek, nie rozwiązanie. Najkrótsza wersja obu przykazań: podstawienie to wycieczka; liczy się powrót.

📌 Najważniejsze w pigułce

  • Równanie wielomianowe: wszystko na jedną stronę → rozkład → każdy czynnik $= 0$.
  • Nie dziel przez wyrażenie z $x$: gubisz rozwiązania (przenieś i wyłącz zamiast tego).
  • Kolejność prób: wspólny czynnik → wzory → grupowanie → Bézout/Horner → podstawienie.
  • Stopień $n$ ⇒ co najwyżej $n$ pierwiastków.

🎒 Zadania

  1. Rozwiąż: $x^3 = 9x$.
  2. Rozwiąż grupowaniem: $x^3 + 3x^2 - 4x - 12 = 0$.
  3. Rozwiąż przez podstawienie: $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$.
  4. Rozwiąż: $x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0$ dowolną skuteczną metodą.
Rozwiązanie krok po kroku

1. $x^3 - 9x = 0 \Rightarrow x(x-3)(x+3) = 0 \Rightarrow x \in {0, 3, -3}$. (Dzielenie przez $x$ zgubiłoby zero.)

2. $x^2(x + 3) - 4(x + 3) = (x+3)(x^2 - 4) = (x+3)(x-2)(x+2) = 0 \Rightarrow x \in {-3, 2, -2}$.

3. $t = x^2$: $;t^2 - 13t + 36 = 0$, $\Delta = 169 - 144 = 25$, $t = 4$ lub $t = 9$. Powrót: $x^2 = 4$ lub $x^2 = 9$, więc $x \in {\pm 2, \pm 3}$.

4. Grupowanie: $x^2(x - 3) - 4(x - 3) = (x-3)(x^2-4) = (x-3)(x-2)(x+2) = 0 \Rightarrow x \in {3, 2, -2}$. (Bézout też by zadziałał; kandydat $2$ dzieli $12$, ale grupowanie było o ruch szybsze.)

🔍 Sprawdź, czy umiesz

  • rozwiązać równanie wielomianowe bez gubienia rozwiązań;
  • dobrać technikę rozkładu do postaci wielomianu (i uzasadnić wybór).

Ucz się tej jednostki z asystentem