Funkcje i nierówności wielomianowe

🎯 Po co Ci to?

Umiesz już znaleźć, gdzie wielomian się zeruje. Ale między zerami wielomian żyje: jest nad osią albo pod nią, a pytanie „gdzie $W(x) > 0$?" to nierówność wielomianowa. Dobra wiadomość: nie trzeba rysować dokładnego wykresu. Wystarczy wiedzieć, że wielomian zmienia znak tylko w pierwiastkach, i to nie we wszystkich! Sekret siedzi w krotności.

✅ Czego się nauczysz

• szkicować przebieg wielomianu z postaci iloczynowej („wężyk");
• rozumieć krotność pierwiastka: przecięcie vs odbicie;
• rozwiązywać nierówności wielomianowe siatką znaków.

📘 Wyjaśnienie

Dwa fakty ustawiają całą zabawę:

Fakt 1: na krańcach rządzi najstarsza potęga. Dla ogromnych $|x|$ wyraz $a_n x^n$ przygniata pozostałe (miliard do kwadratu vs miliard: pamiętasz skalę z §3.1). Więc daleko w prawo wykres idzie tam, dokąd $a_n x^n$: np. dla $a_n > 0$ i $n$ nieparzystego, z minus nieskończoności w plus nieskończoność.

Fakt 2: znak może się zmienić tylko w pierwiastku. Między pierwiastkami wielomian nie dotyka osi, a przeskoczyć jej bez dotknięcia nie umie. Ale czy w pierwiastku znak musi się zmienić? Spójrz:

📐 DEFINICJA (krotność pierwiastka): liczba $a$ jest pierwiastkiem $k$-krotnym wielomianu $W$, gdy $(x-a)^k$ dzieli $W$, a $(x-a)^{k+1}$ już nie; w rozkładzie czynnik $(x - a)$ występuje dokładnie $k$ razy.

W pierwiastku nieparzystokrotnym czynnik $(x-a)^k$ zmienia znak przy przejściu przez $a$: wykres przecina oś. W parzystokrotnym: $(x-a)^k$ jest nieujemny po obu stronach, znak się nie zmienia: wykres dotyka osi i odbija się, jak parabola $y = (x-1)^2$ wierzchołkiem. Na rycinie masz oba zachowania naraz.

Nierówność w praktyce: $(x+3)(x-1)^2 > 0$.

1. Pierwiastki i krotności: $-3$ (krotność 1; przecięcie), $1$ (krotność 2; odbicie).
2. Start z prawej: najstarszy wyraz to $x^3$ (dodatni współczynnik), więc na dalekiej prawicy wielomian jest dodatni.
3. Wężyk w lewo: w $1$ odbicie (znak zostaje dodatni), w $-3$ przecięcie (znak spada na minus).
4. Odczyt: dodatni na $(-3, 1) \cup (1, \infty)$. Uwaga na szczegół: w $x = 1$ wielomian ma zero, a nierówność jest ostra; punkt wykluczony. Stąd suma dwóch przedziałów, nie jeden.

Ten sam rachunek można prowadzić siatką znaków: w tabelce wypisujesz przedziały między pierwiastkami i znak każdego czynnika, a potem mnożysz znaki kolumnami. Wynik identyczny; wężyk jest szybszy, siatka odporniejsza na pomyłki. Wybierz swoją broń, ale jedną opanuj do automatyzmu.

💭 Pomyśl: Wielomian $W(x) = -(x+2)^2(x-4)$, gdzie jest dodatni?

Sprawdź odpowiedź

Najstarszy wyraz: $-x^3$, więc z prawej strony wielomian ujemny. W $4$ (krotność 1); przecięcie: na lewo od $4$ dodatni. W $-2$ (krotność 2); odbicie: znak bez zmian. Dodatni na $(-\infty, -2) \cup (-2, 4)$, z wyłączonym $-2$, gdzie jest zero.

⚠️ Uwaga, pułapka

Nierówność nieostra ($\ge, \le$) włącza pierwiastki do rozwiązania, także te parzystokrotne, w których znak się nie zmienia. Dla $(x+3)(x-1)^2 \ge 0$ odpowiedzią jest $[-3, \infty)$: punkt $1$ siedzi w środku przedziału i niczego nie psuje, ale przy nierówności ostrej trzeba go wykluczyć: $(-3, 1) \cup (1, \infty)$. Ten jeden punkt to najczęstsza zguba w zadaniach maturalnych z tej działki.

🕰️ Skąd to się wzięło

Równania stopnia trzeciego i czwartego złamali włoscy rachmistrze XVI wieku (del Ferro, Tartaglia, Cardano: historia z pojedynkami rachunkowymi i złamaną przysięgą milczenia w tle). Przez kolejne trzysta lat szukano wzoru na stopień piąty: aż Norweg Niels Abel (1824) i Francuz Évariste Galois udowodnili, że taki wzór nie istnieje: dla stopnia $\ge 5$ nie ma ogólnej recepty z pierwiastników. Galois spisał sedno swojej teorii tuż przed śmiercią w pojedynku; miał dwadzieścia lat, a jego pomysł (badać symetrie pierwiastków zamiast samych pierwiastków) otworzył nową epokę algebry. Dla Ciebie morał praktyczny: skoro wzorów nie ma, polowanie z Bézoutem i Hornerem to nie szkolna proteza, lecz pełnoprawna metoda.

📌 Najważniejsze w pigułce

• Na krańcach rządzi $a_n x^n$; znak zmienia się tylko w pierwiastkach.
• Krotność nieparzysta: przecięcie; parzysta: odbicie (znak zostaje).
• Wężyk: ustal znak z prawej, idź w lewo, w każdym pierwiastku decyduj po krotności.
• Nierówność ostra wyklucza pierwiastki (uwaga na parzystokrotne w środku przedziału!).

🎒 Zadania

1. Naszkicuj przebieg znaków $W(x) = (x + 1)(x - 2)(x - 5)$ i rozwiąż $W(x) < 0$.
2. Rozwiąż $(x - 3)^2(x + 4) \ge 0$.
3. Wielomian stopnia 4 ma pierwiastki: $-1$ (krotność 2) i $3$ (krotność 2), a jego najstarszy współczynnik jest ujemny. Rozwiąż $W(x) > 0$, bez wzoru, samym rozumowaniem.

Rozwiązanie krok po kroku

1. Trzy pierwiastki jednokrotne: $-1, 2, 5$; z prawej dodatni ($x^3$). Wężyk: $+$ za $5$, $-$ na $(2,5)$, $+$ na $(-1,2)$, $-$ przed $-1$. $W < 0$: $x \in (-\infty, -1) \cup (2, 5)$.

2. Pierwiastki: $3$ (parzysta; odbicie), $-4$ (nieparzysta; przecięcie). Z prawej dodatni. Dodatni na $(-4, \infty)$ poza… niczym, w $3$ tylko dotyka zera, co przy $\ge$ wolno. Do tego sam $-4$ (zero też spełnia $\ge$). Odpowiedź: $x \in [-4, \infty)$.

3. $W(x) = a(x+1)^2(x-3)^2$ z $a < 0$: kwadraty są nieujemne, więc $W(x) \le 0$ wszędzie; zeruje się w $-1$ i $3$, poza tym ujemny. Nierówność $W(x) > 0$ nie ma rozwiązań.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

• odczytać z krotności, czy wykres przecina oś, czy się odbija;
• rozwiązać nierówność wielomianową wężykiem lub siatką i poprawnie obsłużyć końce.

---