Wyrażenia wymierne i dziedzina

🎯 Po co Ci to?

Ułamki liczbowe skracałeś od podstawówki: $\frac{6}{8} = \frac{3}{4}$. Teraz w liczniku i mianowniku staną wielomiany, i cała technika z Działów 4 i 8 (rozkład na czynniki!) dostanie nowe zastosowanie: skracanie $\frac{x^2-9}{x^2+6x+9}$ do postaci, z którą da się żyć. Jest tylko jeden haczyk, za to śmiertelnie poważny: mianownik miewa zera, a każde z nich to dziura w dziedzinie. Kto skraca przed sprawdzeniem dziedziny, ten gubi dziury, i płaci za to na maturze.

✅ Czego się nauczysz

• wyznaczać dziedzinę wyrażenia wymiernego (zanim cokolwiek zrobisz!);
• skracać wyrażenia wymierne przez rozkład licznika i mianownika;
• mnożyć i dzielić wyrażenia wymierne;
• (rozszerzenie) dodawać i odejmować wyrażenia wymierne.

📘 Wyjaśnienie

📐 DEFINICJA (wyrażenie wymierne): iloraz dwóch wielomianów $\frac{W(x)}{P(x)}$, gdzie $P$ nie jest wielomianem zerowym. Dziedzina: wszystkie $x$, dla których $P(x) \ne 0$.

Rytuał obsługi jest żelazny i zawsze w tej kolejności:

Krok 0: dziedzina, od razu, zanim uprościsz. Weź $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9}$. Mianownik: $x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2$ (wzór z §4.2), zeruje się dla $x = -3$. Dziedzina: $x \ne -3$. Zapisz to, zanim ruszysz dalej, po skróceniu ślad po dziurze może zniknąć z papieru, ale nie z zadania.

Krok 1: rozkład i skracanie. Licznik: $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$. Teraz:

$$\frac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9} = \frac{(x-3)(x+3)}{(x+3)^2} = \frac{x-3}{x+3} \qquad (x \ne -3).$$

Skracać wolno wyłącznie wspólne czynniki: całe nawiasy mnożone przez resztę, nigdy pojedyncze składniki. Skreślenie „$x^2$ z $x^2$" w $\frac{x^2-9}{x^2+6x+9}$ to nie skracanie, to wandalizm: $\frac{-9}{6x+9}$ nie równa się niczemu sensownemu (sprawdź dla $x = 1$: oryginał $\frac{-8}{16} = -\frac{1}{2}$, „skrócone" $\frac{-9}{15}$; różne!). Skracanie to dzielenie licznika i mianownika przez to samo, a dzielić można przez czynnik, nie przez kawałek sumy.

Działania chodzą jak na ułamkach liczbowych, tylko z rozkładem w roli głównej:

• Mnożenie/dzielenie: rozłóż, pomnóż liczniki i mianowniki, skróć. Dzielenie = mnożenie przez odwrotność (i nowy warunek: odwracany licznik też nie może być zerem!).
• (rozszerzenie) Dodawanie/odejmowanie: wspólny mianownik; najlepiej najmniejszy, z rozkładu obu mianowników. Np. $$\frac{2}{x-1} + \frac{3}{x} = \frac{2x + 3(x-1)}{x(x-1)} = \frac{5x - 3}{x(x-1)}, \qquad x \ne 0,\ x \ne 1.$$

💭 Pomyśl: Czy funkcje $f(x) = \frac{x^2 - x}{x}$ i $g(x) = x - 1$ są tą samą funkcją?

Sprawdź odpowiedź

Prawie, a w matematyce „prawie" bywa przepaścią. Po skróceniu wzory są identyczne, ale $f$ nie istnieje w $x = 0$ (dziedzina $x \ne 0$), a $g$ istnieje wszędzie. Wykres $f$ to prosta $y = x - 1$ z wyjętym punktem $(0, -1)$: dziura po mianowniku. Różne dziedziny = różne funkcje.

⚠️ Uwaga, pułapka

Dziedzinę czytaj z oryginalnego mianownika, nie ze skróconego. W przykładzie głównym po skróceniu został mianownik $x + 3$, i on też wyklucza $-3$, ale to szczęśliwy traf: w $\frac{x^2-x}{x}$ po skróceniu zostaje samo $x - 1$ i żadnego śladu po zakazie $x \ne 0$. Skracanie upraszcza wzór, ale nie leczy dziedziny; dziura zostaje dziurą.

📌 Najważniejsze w pigułce

• Wyrażenie wymierne = $\frac{\text{wielomian}}{\text{wielomian}}$; dziedzina: mianownik $\ne 0$; wyznaczana przed upraszczaniem, z oryginału.
• Skracaj tylko wspólne czynniki (po rozkładzie); składników nie wolno.
• Mnożenie: rozłóż i skróć; dzielenie: odwrotność + nowe warunki.
• (rozszerzenie) Dodawanie i odejmowanie: najmniejszy wspólny mianownik z rozkładów.
• Różne dziedziny = różne funkcje, nawet przy tym samym wzorze po skróceniu.

🎒 Zadania

1. Wyznacz dziedzinę: (a) $\frac{x+1}{x^2 - 4}$; (b) $\frac{3}{x^2 + 1}$.
2. Skróć (z dziedziną!): $\frac{x^2 + 5x}{x^2 - 25}$.
3. (rozszerzenie) Wykonaj działanie i uprość: $\frac{1}{x-2} - \frac{4}{x^2 - 4}$.

Rozwiązanie krok po kroku

1. (a) $x^2 - 4 = (x-2)(x+2) \ne 0$: dziedzina $x \ne 2$ i $x \ne -2$. (b) $x^2 + 1 \ge 1 > 0$ zawsze; dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste; nie każdy mianownik robi dziury.

2. Dziedzina: $x \ne \pm 5$. Rozkład: $\frac{x(x+5)}{(x-5)(x+5)} = \frac{x}{x-5}$ dla $x \ne \pm 5$ (zakaz $x \ne -5$ przetrwał tylko w notatce, dlatego notatka jest obowiązkowa).

3. Dziedzina: $x \ne \pm 2$. Wspólny mianownik $(x-2)(x+2)$: $$\frac{x+2}{(x-2)(x+2)} - \frac{4}{(x-2)(x+2)} = \frac{x - 2}{(x-2)(x+2)} = \frac{1}{x+2}.$$ (Na koniec skrócił się czynnik $(x-2)$; cała układanka z rozkładów.)

🔍 Sprawdź, czy umiesz

• wyznaczyć dziedzinę przed jakimkolwiek przekształceniem;
• skrócić i wykonać działania, rozkładając liczniki i mianowniki na czynniki.

---