Równania i nierówności wymierne
🎯 Po co Ci to?
Równanie $\frac{x+3}{x-1} = 2$ wygląda niewinnie: pomnóż obie strony przez $x - 1$ i po sprawie. I rzeczywiście: tym razem się uda. Ale ta sama sztuczka w nierówności $\frac{x+3}{x-1} \le 2$ to już katastrofa: mnożysz przez wyrażenie, którego znaku nie znasz, a od znaku zależy, czy nierówność się odwraca. Ta jednostka domyka Część II: równania wymierne z kontrolą dziedziny i nierówności rozwiązywane tak, żeby nie było czego się wstydzić.
✅ Czego się nauczysz
- rozwiązywać równania wymierne (z bezlitosną kontrolą dziedziny);
- rozwiązywać nierówności wymierne przenoszeniem na jedną stronę i badaniem znaku ilorazu;
- rozpoznawać rozwiązania-widma i je odrzucać.
📘 Wyjaśnienie
Równania. Procedura: dziedzina → wspólny mianownik / mnożenie → równanie wielomianowe → konfrontacja wyników z dziedziną. Przykład z haczykiem:
$$\frac{x^2 - 1}{x - 1} = 0.$$
Dziedzina: $x \ne 1$. Ułamek jest zerem, gdy licznik jest zerem (a mianownik nie): $x^2 - 1 = 0$ daje $x = 1$ lub $x = -1$. Ale $x = 1$ nie należy do dziedziny, to rozwiązanie-widmo: algebra je wyprodukowała, dziedzina je skreśla. Odpowiedź: tylko $x = -1$. Bez kroku „konfrontacja" oddałbyś na maturze odpowiedź z duchem w środku.
Nierówności. Tu obowiązuje jedno wielkie NIE: nie mnóż przez mianownik z niewiadomą. Zamiast tego zrób z nierówności pytanie o znak jednego ułamka:
$$\frac{x+3}{x-1} \le 2 ;\Longrightarrow; \frac{x+3}{x-1} - 2 \le 0 ;\Longrightarrow; \frac{x + 3 - 2(x-1)}{x-1} \le 0 ;\Longrightarrow; \frac{-x + 5}{x - 1} \le 0.$$
A znak ilorazu badamy jak znak iloczynu, bo dzielenie i mnożenie mają te same znaki:
$$\frac{-x+5}{x-1} \le 0 \iff (-x+5)(x-1) \le 0 \ \text{ i } \ x \ne 1.$$
Dalej to stara szkoła z §7.5: zera $x = 5$ i $x = 1$, parabola $(-x+5)(x-1)$ ma ramiona w dół, więc iloczyn jest $\le 0$ na zewnątrz zer: $x \le 1$ lub $x \ge 5$. Nakładamy zastrzeżenie $x \ne 1$ (mianownik!) i mamy odpowiedź: $x \in (-\infty, 1) \cup [5, \infty)$. Zwróć uwagę na niesymetrię nawiasów: $5$ domknięte (tam ułamek równy zeru, a zero spełnia $\le$), $1$ otwarte (tam ułamek nie istnieje; dziedzina jest bezwzględna).
Dlaczego zamiana ilorazu na iloczyn jest legalna, a mnożenie obu stron nie? Bo iloraz i iloczyn tych samych wyrażeń mają ten sam znak, to czysta obserwacja o znakach, bez żadnego mnożenia nierówności. Cała pułapka „mnożenia przez coś ujemnego" zostaje ominięta szerokim łukiem.
💭 Pomyśl: Rozwiąż $\frac{1}{x} = x$, i sprawdź, czy oba kandydaci przeżyją konfrontację z dziedziną.
Sprawdź odpowiedź
Dziedzina $x \ne 0$. Mnożenie przez $x$ (w równaniu wolno: wartości spoza dziedziny i tak skreślimy): $1 = x^2$, więc $x = \pm 1$. Oba w dziedzinie, oba działają: $\frac{1}{1} = 1$ ✓, $\frac{1}{-1} = -1$ ✓. Geometrycznie: hiperbola $y = \frac{1}{x}$ przecina prostą $y = x$ dokładnie w dwóch punktach.
⚠️ Uwaga, pułapka
W równaniu mnożenie przez mianownik jest dozwolone, o ile pamiętasz o dziedzinie i konfrontacji (widma!). W nierówności: zakazane bez dyskusji znaku: dla $x$, przy których mianownik jest ujemny, znak nierówności należałoby odwrócić, a przecież nie wiesz, które to $x$. Jedna procedura ratuje wszystko: wszystko na lewo, wspólna kreska, znak ilorazu jak iloczynu, mianownik zawsze ostro $\ne 0$.
📌 Najważniejsze w pigułce
- Równanie wymierne: dziedzina → przekształcenie → pierwiastki → konfrontacja z dziedziną (widma out).
- Ułamek $= 0 \iff$ licznik $= 0$ i mianownik $\ne 0$.
- Nierówność: NIE mnóż przez mianownik; przenieś, sprowadź do $\frac{L}{M} \lessgtr 0$, badaj znak jak iloczyn $L \cdot M$.
- Zera licznika: nawias wg nierówności (ostra/nieostra); zera mianownika: zawsze wykluczone.
🎒 Zadania
- Rozwiąż równanie: $\frac{2x - 6}{x + 1} = 0$.
- Rozwiąż równanie: $\frac{x}{x-2} = \frac{8}{x+2}$.
- Rozwiąż nierówność: $\frac{x - 4}{x + 2} > 0$.
- Rozwiąż nierówność: $\frac{3}{x - 1} \ge 1$.
Rozwiązanie krok po kroku
1. Dziedzina $x \ne -1$. Licznik zero: $2x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3$. W dziedzinie ✓. Odpowiedź: $x = 3$.
2. Dziedzina $x \ne 2, -2$. Na krzyż: $x(x+2) = 8(x-2) \Rightarrow x^2 + 2x = 8x - 16 \Rightarrow x^2 - 6x + 16 = 0$. $\Delta = 36 - 64 < 0$; brak rozwiązań. (Hiperbole się nie przecinają; i dobrze, że dziedzina nie musiała nikogo skreślać.)
3. Znak ilorazu = znak iloczynu $(x-4)(x+2)$: zera $4$ i $-2$, ramiona w górę, dodatni na zewnątrz: $x \in (-\infty, -2) \cup (4, \infty)$. Oba końce otwarte: $-2$ to mianownik, $4$ daje zero, a nierówność ostra.
4. $\frac{3}{x-1} - 1 \ge 0 \Rightarrow \frac{3 - (x-1)}{x-1} \ge 0 \Rightarrow \frac{4 - x}{x - 1} \ge 0$. Iloczyn $(4-x)(x-1) \ge 0$: zera $4$ i $1$, ramiona w dół; nieujemny między zerami: $[1, 4]$. Wykluczamy mianownik $x = 1$: odpowiedź $x \in (1, 4]$.
🔍 Sprawdź, czy umiesz
- rozwiązać równanie wymierne i odstrzelić rozwiązania-widma;
- sprowadzić nierówność do znaku ilorazu i poprawnie domknąć/otworzyć końce.