Funkcja wykładnicza

🎯 Po co Ci to?

Dwie oferty pracy. Pierwsza: $3000$ zł i podwyżka $200$ zł co rok. Druga: $3000$ zł i podwyżka $5%$ co rok. Która lepsza po dwudziestu latach? Pierwsza dokłada, druga mnoży, i to mnożenie, choć z początku niepozorne, po latach miażdży dodawanie. Funkcja, która za tym stoi, ma niewiadomą w wykładniku, i zupełnie inny charakter niż wszystko, co widziałeś w Części II.

✅ Czego się nauczysz

• rozumieć funkcję $f(x) = a^x$ i rolę podstawy $a$;
• odróżniać wzrost wykładniczy (mnożnik) od liniowego (przyrost);
• znać podstawowe własności: wartości dodatnie, punkt $(0, 1)$, monotoniczność.

📘 Wyjaśnienie

📐 DEFINICJA (funkcja wykładnicza): funkcja postaci $f(x) = a^x$, gdzie podstawa $a$ jest liczbą dodatnią różną od $1$. Dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste.

Niewiadoma siedzi w wykładniku, i to zmienia wszystko. W funkcji $x^2$ (kwadratowej) mnożysz wejście przez siebie; w $2^x$ mnożysz dwójkę tyle razy, ile każe wejście. Krok $x \to x+1$ oznacza „pomnóż wynik przez $a$": stałe tempo mnożenia, tak jak prosta miała stałe tempo dodawania. Porównaj słupki:

Trzy fakty, które musisz mieć we krwi:

• $a^x$ jest zawsze dodatnie. Mnożenie dodatnich liczb nie wyprodukuje zera ani minusa: wykres nigdy nie dotknie osi poziomej (za chwilę: asymptota).
• $f(0) = a^0 = 1$, każda funkcja wykładnicza przechodzi przez punkt $(0, 1)$. Zanim cokolwiek urośnie, ma „jedynkę na start".
• Podstawa decyduje o kierunku: dla $a > 1$ funkcja rośnie (mnożysz przez więcej niż $1$), dla $0 < a < 1$ maleje (mnożenie przez ułamek kurczy: $\left(\frac{1}{2}\right)^x$ to połowienie na każdym kroku).

Wróćmy do ofert pracy. Pensja A po $n$ latach: $3000 + 200n$ (prosta). Pensja B: $3000 \cdot 1{,}05^n$ (wykładnicza; mnożnik $1{,}05$ z §2.4). Po $10$ latach: A daje $5000$, B około $4887$, jeszcze prowadzi A. Po $20$ latach: A ma $7000$, B około $7960$, i od tej pory różnica już tylko rośnie, coraz szybciej. Wykładnicza zawsze w końcu przegoni każdą prostą (i każdą parabolę, i każdy wielomian); potrzebuje tylko czasu.

💭 Pomyśl: Kartka papieru ma $0{,}1$ mm grubości. Ile miałaby po $42$ złożeniach na pół? (Zgadnij, zanim policzysz; §3.1 już Cię na to przygotował.)

Sprawdź odpowiedź

$0{,}1 \text{ mm} \cdot 2^{42} \approx 4{,}4 \cdot 10^{11}$ mm $= 440,000$ km: dalej niż Księżyc. Intuicja podpowiada „gruby zeszyt"; wykładnicza mówi „kosmos". Właśnie dlatego trzeba ją liczyć, a nie czuć.

⚠️ Uwaga, pułapka

Nie myl $x^2$ z $2^x$! Pierwsza to potęga o stałym wykładniku (wielomian, §8.1), druga: o stałej podstawie (wykładnicza). Dla małych $x$ wyglądają podobnie, ale charaktery mają skrajnie różne: $x^2$ dla $x = 100$ daje $10,000$, a $2^x$ liczbę o trzydziestu jeden cyfrach. I drobiazg z definicji: podstawa $a = 1$ jest wykluczona, bo $1^x = 1$ to funkcja stała; żadnego „rośnięcia" by nie było.

📌 Najważniejsze w pigułce

• $f(x) = a^x$, $a > 0$, $a \ne 1$; niewiadoma w wykładniku; krok $+1$ na wejściu = mnożnik $a$ na wyjściu.
• Wartości zawsze dodatnie; wykres przechodzi przez $(0, 1)$.
• $a > 1$: rosnąca; $0 < a < 1$: malejąca.
• Wzrost procentowy = wykładniczy: $;K \cdot (1 + p)^n$; wykładnicza w końcu przegania każdy wielomian.

🎒 Zadania

1. Oblicz wartości $f(x) = 3^x$ dla $x = 0, 2, -1, \frac{1}{2}$ (ujemne i ułamkowe wykładniki znasz z §3.1–3.2).
2. Populacja bakterii podwaja się co godzinę; startuje od $500$ komórek. Napisz wzór $N(t)$ i oblicz $N(8)$.
3. Która funkcja jest rosnąca, a która malejąca: $y = 5^x$, $;y = (0{,}7)^x$, $;y = \left(\frac{3}{2}\right)^x$?

Rozwiązanie krok po kroku

1. $3^0 = 1$; $3^2 = 9$; $3^{-1} = \frac{1}{3}$; $3^{1/2} = \sqrt{3} \approx 1{,}73$.

2. $N(t) = 500 \cdot 2^t$; $;N(8) = 500 \cdot 256 = 128,000$ komórek.

3. $5 > 1$: rosnąca; $0{,}7 < 1$: malejąca; $\frac{3}{2} > 1$: rosnąca. Patrzysz tylko na podstawę.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

• obliczyć $a^x$ dla wykładników całkowitych i ułamkowych;
• rozpoznać wzrost wykładniczy w treści zadania i zapisać go wzorem.

---