Wykres i równania wykładnicze

[poza podstawą]

🎯 Po co Ci to?

„Po jakim czasie plotka dotrze do tysiąca osób?" to pytanie o wejście, gdy znasz wyjście: równanie wykładnicze. Dobra wiadomość: cała maszyneria z Części II działa dalej. Wykres wykładniczej przesuwa się i odbija jak każdy inny (Dział 6), a równania pękają dzięki jednej własności, którą widać na wykresie gołym okiem.

✅ Czego się nauczysz

• czytać wykres $y = a^x$: asymptota, monotoniczność, przekształcenia;
• rozwiązywać równania wykładnicze metodą wspólnej podstawy;
• rozumieć, dlaczego „równe potęgi ⇒ równe wykładniki" jest legalne.

📘 Wyjaśnienie

Spójrz raz jeszcze na wykres $y = 2^x$ (rycina w §10.1). Trzy obserwacje do zapamiętania:

• Oś pozioma to asymptota (pojęcie z §9.1 wraca): dla bardzo ujemnych $x$ wartości $2^x$ są maleńkie ($2^{-10} \approx 0{,}001$), wykres tuli się do osi, ale jej nie dotyka.
• Monotoniczność pełna: $y = 2^x$ rośnie na całej dziedzinie, bez wyjątków, bez przedziałów.
• Przekształcenia z Działu 6 działają: $y = 2^{x-3}$ to ta sama krzywa przesunięta o $3$ w prawo, $y = 2^x + 1$ o $1$ w górę (asymptota jedzie razem z nią: $y = 1$!), $y = -2^x$ to odbicie w dół.

Z pełnej monotoniczności wynika kluczowy fakt: funkcja wykładnicza nie skleja wyjść; różne wejścia dają różne wyjścia (rosnąca nie ma prawa wrócić do starej wartości; to samo rozumowanie, co w §5.3 przy miejscach zerowych). A skoro tak:

📐 FAKT: dla $a > 0$, $a \ne 1$: $\qquad a^{L} = a^{P} \iff L = P.$

Równe potęgi o tej samej podstawie wymuszają równe wykładniki. To silnik wszystkich równań wykładniczych: wystarczy obie strony zapisać w tej samej podstawie:

• $2^x = 16$. Prawa strona to $2^4$, więc $x = 4$.
• $3^{x+1} = 27 = 3^3$, więc $x + 1 = 3$, czyli $x = 2$.
• $4^x = 8$, tu obie strony trzeba przełożyć na dwójki: $(2^2)^x = 2^3$, czyli $2^{2x} = 2^3$ (potęga potęgi, §3.1), więc $2x = 3$, $x = \frac{3}{2}$.
• $5^x = -25$? Brak rozwiązań: lewa strona jest zawsze dodatnia (§10.1), z prawą ujemną nie spotka się nigdy.

A co z równaniem $2^x = 10$? Dziesiątki nie da się zapisać jako „ładnej" potęgi dwójki, i właśnie po to istnieje logarytm: $x = \log_2 10$ (§3.3 wraca; funkcją logarytmiczną zajmiemy się w §10.4). Metoda wspólnej podstawy obsługuje zadania „ustawione", logarytm całą resztę świata.

💭 Pomyśl: Plotka z wstępu działu: $N(t) = 2 \cdot 2^t$. Po ilu godzinach zna ją $256$ osób?

Sprawdź odpowiedź

$2 \cdot 2^t = 256 \Rightarrow 2^t = 128 = 2^7 \Rightarrow t = 7$ godzin. (Zauważ mimochodem: $2 \cdot 2^t = 2^{t+1}$; mnożenie przez podstawę to przesunięcie wykładnika.)

⚠️ Uwaga, pułapka

Zanim porównasz wykładniki, upewnij się, że po obu stronach stoi czysta potęga tej samej podstawy, i nic więcej. Z $2^x + 2 = 18$ nie wolno „ściągnąć" wykładników; najpierw wyodrębnij potęgę: $2^x = 16$, dopiero teraz $x = 4$. I nie mieszaj podstaw: z $2^x = 3^x$ nie wynika „$2 = 3$", tylko… $x = 0$ (jedyny punkt, gdzie obie strony się spotykają, obie dają $1$).

📌 Najważniejsze w pigułce

• Wykres $a^x$: asymptota to oś pozioma; monotoniczność na całej dziedzinie; przekształcenia wg Działu 6 (asymptota przesuwa się razem z wykresem).
• Równanie: sprowadź obie strony do tej samej podstawy → porównaj wykładniki.
• $a^L = a^P \iff L = P$ (bo funkcja różnowartościowa, nie skleja wyjść).
• $a^x =$ liczba niedodatnia → brak rozwiązań; „nieładna" liczba → logarytm.

🎒 Zadania

1. Rozwiąż: (a) $5^x = 125$; (b) $2^{x-3} = 32$; (c) $9^x = 27$.
2. Rozwiąż: $3 \cdot 2^x - 5 = 43$.
3. Podaj równanie asymptoty wykresu $y = 3^x - 4$ i punkt przecięcia tego wykresu z osią pionową.

Rozwiązanie krok po kroku

1. (a) $125 = 5^3 \Rightarrow x = 3$. (b) $32 = 2^5 \Rightarrow x - 3 = 5 \Rightarrow x = 8$. (c) wspólna podstawa $3$: $(3^2)^x = 3^3 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{2}$.

2. Najpierw wyodrębnij potęgę: $3 \cdot 2^x = 48 \Rightarrow 2^x = 16 \Rightarrow x = 4$.

3. Wykres $y = 3^x$ zjechał o $4$ w dół: asymptota $y = -4$. Oś pionowa: $y = 3^0 - 4 = -3$, punkt $(0, -3)$.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

• rozwiązać równanie wykładnicze wspólną podstawą (także z „obróbką wstępną");
• wskazać asymptotę po przekształceniu wykresu.

---