Nierówności wykładnicze
[poza podstawą]
🎯 Po co Ci to?
„Od kiedy liczba zakażonych przekroczy tysiąc?", „jak długo lokata musi pracować, żeby podwoić kapitał?" Pytania „od kiedy/jak długo" to nierówności z niewiadomą w wykładniku. Rozwiązuje się je jednym ruchem (porównaniem wykładników), ale z haczykiem, który co roku łowi tłumy maturzystów: podstawa mniejsza od jedynki odwraca znak.
✅ Czego się nauczysz
- rozwiązywać nierówności wykładnicze przez wspólną podstawę;
- rozumieć, kiedy znak nierówności zostaje, a kiedy się odwraca, i dlaczego;
- czytać rozwiązanie z wykresu, gdy rachunek budzi wątpliwości.
📘 Wyjaśnienie
Cała rzecz sprowadza się do monotoniczności (§5.3 w akcji):
📐 FAKT: dla $a > 1$: $;a^L < a^P \iff L < P$ (funkcja rosnąca zachowuje porządek). Dla $0 < a < 1$: $;a^L < a^P \iff L > P$ (funkcja malejąca odwraca porządek).
Skąd to odwracanie? Pomyśl połowieniem: $\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$, a $\left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1}{32}$. Większy wykładnik dał mniejszą wartość, im dłużej połowisz, tym mniej zostaje. Malejąca funkcja obraca każde porównanie o $180°$, dokładnie tak, jak mnożenie nierówności przez liczbę ujemną (§7.5 zadanie 4, ta sama klasa zjawisk).
Przykład bez haczyka: $2^x > 32$. Wspólna podstawa: $2^x > 2^5$. Podstawa $2 > 1$, więc porządek zostaje: $x > 5$.
Przykład z haczykiem: $\left(\frac{1}{3}\right)^x > \frac{1}{27}$. Wspólna podstawa: $\left(\frac{1}{3}\right)^x > \left(\frac{1}{3}\right)^3$. Podstawa $\frac{1}{3} < 1$, więc porządek się odwraca: $x < 3$. Sprawdź na konkretach, bo warto to poczuć: $x = 0$ daje $1 > \frac{1}{27}$ ✓, a $x = 5$ daje $\frac{1}{243} > \frac{1}{27}$? fałsz ✓. Rachunek się zgadza z rzeczywistością.
Gdy podstawa jest niewygodna, przełóż wszystko na jedną: $\left(\frac{1}{4}\right)^x \le 2^{x+3}$. Lewa strona to $2^{-2x}$, więc $2^{-2x} \le 2^{x+3}$; podstawa $2 > 1$, porządek zostaje: $-2x \le x + 3$, czyli $x \ge -1$.
💭 Pomyśl: Lek rozkłada się tak, że co godzinę zostaje $\frac{1}{2}$ dawki. Po ilu godzinach zostanie mniej niż $\frac{1}{100}$ dawki?
Sprawdź odpowiedź
$\left(\frac{1}{2}\right)^t < \frac{1}{100}$. Bez tablic: $2^6 = 64 < 100 < 128 = 2^7$, więc $\left(\frac{1}{2}\right)^6 = \frac{1}{64}$ to jeszcze za dużo, a $\left(\frac{1}{2}\right)^7 = \frac{1}{128}$, już mniej. Po $7$ godzinach. (Dokładna granica to $t = \log_2 100 \approx 6{,}64$; logarytm znów puka do drzwi.)
⚠️ Uwaga, pułapka
Odruch „przepisz wykładniki, znak zostaw" jest poprawny tylko dla podstawy większej od $1$. Zanim zdejmiesz potęgi, spójrz na podstawę i zadaj sobie jedno pytanie: rośnie czy maleje? Rośnie: znak zostaje. Maleje: znak się odwraca. Ten jeden świadomy oddech przed odpowiedzią to różnica między punktami a ich brakiem.
📌 Najważniejsze w pigułce
- Nierówność wykładnicza: wspólna podstawa → porównaj wykładniki.
- $a > 1$: znak zostaje. $;0 < a < 1$: znak się odwraca (funkcja malejąca).
- Ułamkowe podstawy warto przepisać na „większe od 1" ($\left(\tfrac{1}{4}\right)^x = 2^{-2x}$): mniej okazji do błędu.
- W razie wątpliwości: sprawdź jedną liczbą (kontrprzykład/potwierdzenie; §1.5).
🎒 Zadania
- Rozwiąż: (a) $3^x \le 81$; (b) $\left(\frac{1}{2}\right)^x \le \frac{1}{8}$; (c) $5^{2x-1} > 5^{x+4}$.
- Rozwiąż: $\left(\frac{2}{3}\right)^{x-2} < 1$.
- Kapitał rośnie o $10%$ rocznie: $K_n = K_0 \cdot 1{,}1^n$. Od którego roku przekroczy $1{,}5 \cdot K_0$, jeśli wiadomo, że $1{,}1^4 \approx 1{,}46$ i $1{,}1^5 \approx 1{,}61$?
Rozwiązanie krok po kroku
1. (a) $3^x \le 3^4$, podstawa $>1$: $x \le 4$. (b) $\left(\frac{1}{2}\right)^x \le \left(\frac{1}{2}\right)^3$, podstawa $<1$; odwracamy: $x \ge 3$. (c) ta sama podstawa $5 > 1$: $2x - 1 > x + 4 \Rightarrow x > 5$.
2. $1 = \left(\frac{2}{3}\right)^0$, podstawa $<1$: odwracamy: $x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2$. (Sens: ułamek w dodatniej potędze jest mniejszy od $1$ ✓.)
3. Potrzebujemy $1{,}1^n > 1{,}5$: dla $n = 4$ mamy $\approx 1{,}46$ (za mało), dla $n = 5$ mamy $\approx 1{,}61$ (wystarczy). Od piątego roku.
🔍 Sprawdź, czy umiesz
- rozwiązać nierówność wykładniczą z podstawą większą i mniejszą od $1$;
- wyjaśnić własnymi słowami, czemu malejąca podstawa odwraca znak.