Równania i nierówności logarytmiczne

[poza podstawą]

🎯 Po co Ci to?

Skoro logarytmiczna jest lustrem wykładniczej, to i jej równania rozwiązuje się bliźniaczo: „równe logarytmy ⇒ równe wnętrza". Ale w lustrzanym świecie czyha pułapka, której wykładnicza nie znała: dziedzina. Logarytm przyjmuje tylko liczby dodatnie, a przekształcenia algebraiczne lubią o tym „zapominać" i podsuwać rozwiązania-widma: kandydatów, których dziedzina nie wpuszcza.

✅ Czego się nauczysz

  • rozwiązywać równania logarytmiczne (z definicji i przez porównanie);
  • pilnować dziedziny i odstrzeliwać widma;
  • rozwiązywać nierówności logarytmiczne z obsługą podstawy $0 < a < 1$.

📘 Wyjaśnienie

Rytuał jest żelazny: dziedzina NAJPIERW. Zanim tkniesz równanie, wypisz warunki: każde wnętrze logarytmu musi być dodatnie.

Droga 1, z definicji (gdy logarytm stoi sam): $\log_3(2x - 4) = 2$. Dziedzina: $2x - 4 > 0$, czyli $x > 2$. Tłumaczenie na potęgę (logarytm to wykładnik!): $2x - 4 = 3^2 = 9$, więc $x = 6{,}5$. Jest w dziedzinie ✓.

Droga 2: porównanie (logarytm z logarytmem): tak jak wykładnicza, logarytmiczna jest w pełni monotoniczna, więc nie skleja wyjść:

📐 FAKT: dla $a > 0$, $a \ne 1$ i dodatnich $L, P$: $\qquad \log_a L = \log_a P \iff L = P.$

Przykład z widmem: obejrzyj go uważnie: $\log_2(x^2) = \log_2(x + 6)$. Wnętrza równe: $x^2 = x + 6$, czyli $x^2 - x - 6 = 0$, więc $x = 3$ lub $x = -2$ (delta, §7.5). Teraz dziedzina: potrzeba $x^2 > 0$ (czyli $x \ne 0$) i $x + 6 > 0$ (czyli $x > -6$). Oba kandydaci przechodzą: $x = 3$ ✓ i $x = -2$ ✓ (sprawdź: $\log_2 4 = \log_2 4$ ✓). A teraz zmień zadanie na $\log_2 x^2 \to 2\log_2 x$… i $x = -2$ odpada, bo $\log_2 x$ żąda $x > 0$. Ten sam rachunek, inna dziedzina, inna odpowiedź, dlatego dziedzinę czyta się z oryginalnego zapisu, zanim cokolwiek przekształcisz.

Nierówności dziedziczą wszystko z §10.3, plus dziedzinę: $\log_{\frac{1}{2}}(x - 1) > 2$. Dziedzina: $x > 1$. Prawa strona jako logarytm: $2 = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4}$. Podstawa $\frac{1}{2} < 1$; funkcja malejąca, porządek się odwraca: $x - 1 < \frac{1}{4}$, czyli $x < \frac{5}{4}$. Z dziedziną: $x \in \left(1, \frac{5}{4}\right)$. Zauważ, jak dziedzina przycięła odpowiedź, bez niej oddałbyś pół osi liczbowej za dużo.

💭 Pomyśl: Ile rozwiązań ma równanie $\log_5(x - 2) = \log_5(2 - x)$?

Sprawdź odpowiedź

Zero. Porównanie dałoby $x - 2 = 2 - x$, czyli $x = 2$, ale dziedzina żąda $x - 2 > 0$ i $2 - x > 0$ naraz, czyli $x > 2$ i $x < 2$ jednocześnie. Dziedzina jest pusta: równanie nie ma nawet gdzie mieszkać. (Część wspólna z §1.4 bywa pusta: koniunkcja warunków bywa nie do spełnienia.)

⚠️ Uwaga, pułapka

Najczęstszy błąd tego rozdziału nie jest rachunkowy, lecz proceduralny: dziedzina sprawdzana na końcu albo wcale. Zrób z tego odruch trzech kroków: (1) dziedzina, (2) rachunek, (3) konfrontacja. I druga mina, ta sama co w §10.3: nierówność z podstawą mniejszą od $1$ odwraca znak. Dwie miny, jedna checklista.

📌 Najważniejsze w pigułce

  • Dziedzina NAJPIERW: każde wnętrze logarytmu $> 0$; czytana z oryginału.
  • Samotny logarytm → tłumacz na potęgę; $\log_a L = \log_a P \iff L = P$ (na dziedzinie).
  • Nierówności: obie strony jako logarytmy tej samej podstawy; $a < 1$ odwraca znak.
  • Schemat: dziedzina → rachunek → konfrontacja (widma out).

🎒 Zadania

  1. Rozwiąż: $\log_2(x + 3) = 4$.
  2. Rozwiąż: $\log_7(x^2 - 9) = \log_7(3x + 9)$, i policz, ilu kandydatów przetrwało dziedzinę.
  3. Rozwiąż nierówność: $\log_3(x - 2) \le 1$.
  4. Rozwiąż nierówność: $\log_{\frac{1}{3}} x \ge 2$.
Rozwiązanie krok po kroku

1. Dziedzina $x > -3$. Z definicji: $x + 3 = 2^4 = 16 \Rightarrow x = 13$ ✓ (w dziedzinie).

2. Dziedzina: $x^2 - 9 > 0$ (czyli $x < -3$ lub $x > 3$) i $3x + 9 > 0$ (czyli $x > -3$); razem $x > 3$. Rachunek: $x^2 - 9 = 3x + 9 \Rightarrow x^2 - 3x - 18 = 0 \Rightarrow (x-6)(x+3) = 0 \Rightarrow x = 6$ lub $x = -3$. Konfrontacja: przeżył tylko $x = 6$ (a $-3$ to widmo; nawet podwójne, bo psuje oba wnętrza).

3. Dziedzina $x > 2$. $;1 = \log_3 3$, podstawa $> 1$, znak zostaje: $x - 2 \le 3 \Rightarrow x \le 5$. Odpowiedź: $x \in (2, 5]$.

4. Dziedzina $x > 0$. $;2 = \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{9}$, podstawa $< 1$: odwracamy: $x \le \frac{1}{9}$. Odpowiedź: $x \in \left(0, \frac{1}{9}\right]$.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

  • przeprowadzić schemat dziedzina → rachunek → konfrontacja bez potknięcia;
  • rozwiązać nierówność logarytmiczną z podstawą po obu stronach jedynki.

Ucz się tej jednostki z asystentem