Modele świata — rozpad, wzrost, kapitalizacja

🎯 Po co Ci to?

Ta jednostka to wypłata z całego działu. Trzy pytania z prawdziwego świata: „ile będzie warta moja lokata za 10 lat?", „skąd wiadomo, że mumia ma 3300 lat?", „czemu lekarz każe brać antybiotyk co 8 godzin?". Wszystkie trzy to jedna i ta sama matematyka: funkcja wykładnicza z odpowiednio dobraną podstawą. Zobaczysz ją w akcji i nauczysz się budować takie modele samodzielnie.

✅ Czego się nauczysz

• budować model wykładniczy: wielkość startowa × mnożnik do potęgi „liczba kroków";
• liczyć procent składany (kapitalizację) i rozpad połowiczny;
• rozumieć, gdzie kończy się model, a zaczyna rzeczywistość.

📘 Wyjaśnienie

Każdy model tego działu ma jeden szkielet:

$$\text{ilość po } n \text{ krokach} ;=; \text{ilość startowa} \times (\text{mnożnik jednego kroku})^{,n}.$$

Cała robota polega na rozpoznaniu mnożnika i kroku. Trzy klasyki:

Kapitalizacja (procent składany). Lokata $10,000$ zł na $6%$ rocznie: mnożnik roku to $1{,}06$ (§2.4: „+6%" = „×1,06"). Po $n$ latach: $K_n = 10,000 \cdot 1{,}06^n$. Po $12$ latach: $10,000 \cdot 1{,}06^{12} \approx 20,122$ zł: kapitał się podwoił. Odsetki pracują tu od odsetek, to właśnie „składanie" i powód, dla którego krzywa ucieka prostej. Praktyczny skrót bankierów: reguła 72: czas podwojenia to w przybliżeniu $72$ podzielone przez procent ($\frac{72}{6} = 12$ lat ✓). To przybliżenie (całkiem niezłe dla stóp jednocyfrowych), nie twierdzenie; dokładną odpowiedź daje logarytm: $n = \log_{1{,}06} 2 \approx 11{,}9$.

Rozpad połowiczny. Substancje promieniotwórcze znikają w rytmie „co ustalony czas: połowa": mnożnik $\frac{1}{2}$, krok = czas połowicznego rozpadu $T$. Po czasie $t$: $$m(t) = m_0 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T}.$$ Węgiel $^{14}C$ ma $T \approx 5730$ lat. Organizm za życia uzupełnia $^{14}C$; po śmierci zapas tylko się rozpada. Znaleziono szczątki z $\frac{1}{4}$ pierwotnego stężenia? $\left(\frac{1}{2}\right)^{t/T} = \frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^2$, więc $t = 2T \approx 11,460$ lat (równanie wykładnicze w służbie archeologii). Tak samo dawkuje się leki: stężenie spada połowicznie, więc kolejna dawka wchodzi, zanim poprzednia zejdzie za nisko.

Wzrost populacji. Bakterie podwajające się co godzinę, pandemiczne „R", procentowy przyrost użytkowników aplikacji, ten sam szkielet z mnożnikiem $> 1$. I tu ważna lekcja spoza wzoru: żaden realny wzrost nie jest wykładniczy wiecznie. Bakteriom kończy się pożywka, wirusowi podatni, aplikacji ludzkość. Model wykładniczy opisuje fazę procesu, nie jego całość; mądrość polega na wiedzy, kiedy przestaje obowiązywać (pamiętasz §2.5 o granicach modeli? tu wraca z całą mocą).

💭 Pomyśl: Inflacja $8%$ rocznie. Jakim mnożnikiem maleje siła nabywcza pieniędzy i ile (mniej więcej) zostanie z niej po $9$ latach? (Reguła 72 działa też w dół.)

Sprawdź odpowiedź

Ceny rosną ×$1{,}08$, więc za te same pieniądze kupisz $\frac{1}{1{,}08} \approx 0{,}926$ tego co rok wcześniej. Reguła 72: $\frac{72}{8} = 9$ lat do połowy siły nabywczej. Po $9$ latach Twoje oszczędności „bez procentu" realnie stopniały o połowę, to najdroższa lekcja tego działu.

🕰️ Skąd to się wzięło

Procent składany jest starszy niż algebra: gliniane tabliczki z Mezopotamii (ok. 1700 p.n.e.) zawierają zadanie „po ilu latach dług na $20%$ się podwoi"; rozwiązywane bez logarytmów, żmudnym składaniem. Wieki później Benjamin Franklin urządził procentowi składanemu pokaz siły: w testamencie (1790) zostawił Bostonowi i Filadelfii po $1000$ funtów z zastrzeżeniem, by wypłacono je po $200$ latach procentowania. W 1990 roku fundusz bostoński był wart około $5$ milionów dolarów. A rozpad połowiczny opisał na początku XX w. Ernest Rutherford, i fizyka jądrowa podarowała historykom zegar: datowanie radiowęglowe, za które chemik Willard Libby dostał Nobla (1960).

📌 Najważniejsze w pigułce

• Szkielet modelu: $\text{start} \times \text{mnożnik}^{,\text{liczba kroków}}$; sztuka = rozpoznać mnożnik i krok.
• Kapitalizacja: mnożnik $1 + p$; reguła 72 szacuje czas podwojenia ($\frac{72}{%}$).
• Rozpad: $m_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$; $T$ = czas połowicznego rozpadu (leki, $^{14}C$).
• Model wykładniczy opisuje fazę, nie wieczność: zawsze pytaj, kiedy przestaje obowiązywać.

🎒 Zadania

1. Lokata $5000$ zł na $4%$ rocznie z kapitalizacją roczną. Podaj wzór na $K_n$ i wartość po $3$ latach.
2. Izotop ma czas połowicznego rozpadu $8$ dni. Jaka część próbki zostanie po $24$ dniach? A kiedy zostanie $\frac{1}{32}$?
3. Miasto liczy $200,000$ mieszkańców i ubywa mu $2%$ rocznie. Napisz model i oszacuj populację po $10$ latach ($0{,}98^{10} \approx 0{,}817$).
4. Reguła 72: ile w przybliżeniu lat potrzeba na podwojenie kapitału przy $3%$? Zweryfikuj sensowność: czy $1{,}03^{24}$ powinno być bliskie $2$?

Rozwiązanie krok po kroku

1. $K_n = 5000 \cdot 1{,}04^n$; $;K_3 = 5000 \cdot 1{,}124864 \approx 5624$ zł.

2. $24$ dni $= 3T$: zostaje $\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$. $;\frac{1}{32} = \left(\frac{1}{2}\right)^5$ → po $5T = 40$ dniach.

3. Mnożnik $0{,}98$ (ubytek $2%$): $L_n = 200,000 \cdot 0{,}98^n$; $;L_{10} \approx 200,000 \cdot 0{,}817 \approx 163,400$ osób. (Malejąca wykładnicza, ta sama matematyka co rozpad.)

4. $\frac{72}{3} = 24$ lata. Sensowność: reguła obiecuje $1{,}03^{24} \approx 2$; istotnie, $1{,}03^{24} = (1{,}03^{12})^2 \approx 1{,}426^2 \approx 2{,}03$ ✓ (przybliżenie działa).

🔍 Sprawdź, czy umiesz

• zbudować model wykładniczy z treści zadania (mnożnik + krok);
• policzyć kapitalizację i rozpad połowiczny oraz wskazać granice modelu.

---