Ciąg geometryczny

🎯 Po co Ci to?

Kartka składana na pół: $1, 2, 4, 8$ warstw. Lokata: $\times 1{,}06$ co rok. Odbijająca się piłka: po każdym koźle $70%$ poprzedniej wysokości. Tu nie ma stałego przyrostu; jest stały mnożnik. To ciąg geometryczny: wykładnicza z Działu 10 chodząca po schodkach. Rozpoznasz go, przewidzisz jego dalekie wyrazy i zobaczysz, czemu bankowcy i biolodzy mówią tym samym wzorem.

✅ Czego się nauczysz

• rozpoznawać ciąg geometryczny i wyznaczać iloraz $q$;
• używać wzoru ogólnego $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$;
• znać własność średniej geometrycznej i wachlarz zachowań wg $q$.

📘 Wyjaśnienie

📐 DEFINICJA (ciąg geometryczny): ciąg, w którym iloraz dwóch kolejnych wyrazów jest stały: $\frac{a_{n+1}}{a_n} = q$ dla każdego $n$ (zakładamy $a_1 \ne 0$, $q \ne 0$). Liczbę $q$ nazywamy ilorazem ciągu.

Test: czy sąsiad dzielony przez sąsiada daje zawsze to samo? Ciąg $3, 6, 12, 24$: ilorazy $2, 2, 2$ ✓. Ciąg $1, 4, 9, 16$: $4, 2{,}25, \dots$ ✗ (to kwadraty, nie geometryczny).

Wzór ogólny: znów liczenie kroków, tym razem mnożeń: z $a_1$ do $a_n$ wykonujesz $n-1$ mnożeń przez $q$:

$$a_n = a_1 \cdot q^{,n-1}.$$

Piłka puszczona z $2$ m przy $q = 0{,}7$: pierwszy wyraz $a_1 = 2$ m to wysokość startowa, więc dziesiąty wyraz $a_{10} = 2 \cdot 0{,}7^{9} \approx 0{,}08$ m, osiem centymetrów, to wysokość po dziewiątym odbiciu. Widzisz pokrewieństwo z Działem 10: $a_n$ to wykładnicza $a_1 \cdot q^x$ próbkowana w numerach, dlatego wszystko, co wiesz o $q^x$, przenosi się na schodki.

Zachowanie ciągu czyta się z ilorazu jak z DNA: $q > 1$: eksplozja (procent składany); $0 < q < 1$: wygasanie (piłka, lek); $q = 1$: stały; $q < 0$: wyrazy skaczą po znakach ($3, -6, 12, -24$ dla $q = -2$). Tego wykładnicza nie umiała, bo ujemna podstawa była zakazana, a mnożyć przez ujemną liczbę wolno.

I bliźniacza własność średniej, stąd nazwa „geometryczny":

📐 FAKT (średnia geometryczna sąsiadów): w ciągu geometrycznym o wyrazach dodatnich $a_n = \sqrt{a_{n-1} \cdot a_{n+1}}$, czyli $a_n^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1}$.

Dowód jak u siostry: $a_{n-1} \cdot a_{n+1} = \frac{a_n}{q} \cdot a_n q = a_n^2$. W zadaniach o trzech kolejnych wyrazach używaj zapisu $\frac{x}{q}$, $x$, $xq$.

💭 Pomyśl: Legenda o szachownicy: wynalazca gry poprosił o $1$ ziarno pszenicy na pierwszym polu, $2$ na drugim, $4$ na trzecim… ile ziaren przypada na pole $64$?

Sprawdź odpowiedź

$a_{64} = 1 \cdot 2^{63} \approx 9{,}2 \cdot 10^{18}$: dziewięć trylionów ziaren na jednym polu, wielokrotnie więcej niż światowe zbiory. Legenda (przekazywana od średniowiecza w wielu wersjach) to najstarszy znany „stress test" intuicji na wzrost geometryczny, i wypadamy w nim równie źle jak z kartką w §10.1.

⚠️ Uwaga, pułapka

Nie pomyl ról: w arytmetycznym odejmujesz sąsiadów, w geometrycznym dzielisz. Ciąg może nie być żadnym z nich (większość nie jest, np. $1, 4, 9, 16$). I korekta częstego odruchu: w $a_n = a_1 q^{n-1}$ wykładnik to $n-1$, nie $n$; pierwszy wyraz to zero mnożeń (te same przęsła co w §11.2).

📌 Najważniejsze w pigułce

• Geometryczny: $\frac{a_{n+1}}{a_n} = q$ (stały); $;a_n = a_1 q^{n-1}$.
• $q > 1$ eksplozja, $0 < q < 1$ wygasanie, $q < 0$: znaki na przemian.
• $a_n^2 = a_{n-1} a_{n+1}$ (wyrazy dodatnie: średnia geometryczna); trzy kolejne: $\frac{x}{q}, x, xq$.
• To wykładnicza na schodkach: procent składany jest ciągiem geometrycznym.

🎒 Zadania

1. Dla ciągu $96, 48, 24, \dots$ podaj $q$, wzór ogólny i $a_8$.
2. W ciągu geometrycznym $a_2 = 6$ i $a_5 = 162$. Wyznacz $q$ i $a_1$.
3. Liczby $x, 12, 36$ (w tej kolejności) tworzą ciąg geometryczny. Wyznacz $x$: dwoma sposobami: z ilorazu i ze średniej geometrycznej.

Rozwiązanie krok po kroku

1. $q = \frac{1}{2}$; $;a_n = 96 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$; $;a_8 = 96 \cdot \frac{1}{128} = 0{,}75$.

2. Z $a_2$ do $a_5$ trzy mnożenia: $q^3 = \frac{162}{6} = 27 \Rightarrow q = 3$; $;a_1 = \frac{a_2}{q} = 2$.

3. Iloraz stały: $\frac{12}{x} = \frac{36}{12} = 3 \Rightarrow x = 4$. Średnia: $12^2 = 36x \Rightarrow x = 4$ ✓, obie drogi, jeden wynik.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

• rozpoznać geometryczny testem ilorazu i policzyć daleki wyraz;
• wyznaczyć $q$ z dwóch niesąsiednich wyrazów ($q^k$ = iloraz wyrazów odległych o $k$).

---