Dowolny kąt i okrąg jednostkowy

🎯 Po co Ci to?

Definicja z §12.1 sięga kąta półpełnego, $180°$, a wskazówka zegara, koło roweru i Ziemia wokół Słońca obracają się o $270°$, $720°$, a nawet w przeciwną stronę. Czy $\sin 270°$ albo $\cos(-30°)$ ma sens? Ma: pod warunkiem, że przeprowadzimy sinus na cały okrąg. Ten jeden ruch (jedno z najsprytniejszych uogólnień w matematyce) otworzy trygonometrii drzwi do świata obrotów.

✅ Czego się nauczysz

• definiować $\sin$, $\cos$ i $\operatorname{tg}$ dla dowolnego kąta przez okrąg jednostkowy;
• czytać znaki funkcji w ćwiartkach i wartości dla $0°, 90°, 180°, 270°$;
• sprowadzać kąt rozwarty do ostrego ($\sin(180° - \alpha) = \sin \alpha$).

📘 Wyjaśnienie

Bierzemy okrąg o promieniu $1$ ze środkiem w początku układu (Kartezjusz z §5.2 znów się kłania). Kąt $\alpha$ odkładamy od dodatniej osi X, przeciwnie do wskazówek zegara. Ramię kąta przecina okrąg w punkcie $P$, i teraz definicja-perła:

📐 DEFINICJA (trygonometria na okręgu jednostkowym): dla dowolnego kąta $\alpha$: $;\cos \alpha$ = pierwsza współrzędna punktu $P$, $;\sin \alpha$ = druga współrzędna, $;\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ (gdy $\cos \alpha \ne 0$).

Czy to zgadza się ze starą definicją? Dla kąta ostrego promień, rzut poziomy i pionowy tworzą trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej $1$, więc „przeciwległa przez przeciwprostokątną" to po prostu druga współrzędna. Stare wartości zostają, nowe kąty dochodzą: definicja działa dla $150°$, $270°$, $1000°$, a nawet kątów ujemnych (obrót zgodnie z zegarem).

Co zyskujemy natychmiast:

• Wartości graniczne bez tablic: $P$ dla $0°$ to $(1, 0)$, dla $90°$ to $(0, 1)$, dla $180°$ to $(-1, 0)$, dla $270°$ to $(0, -1)$. Stąd $\sin 90° = 1$, $\cos 180° = -1$ itd.: czytasz współrzędne, nie wzory.
• Znaki w ćwiartkach: współrzędne punktu $P$ bywają ujemne, więc i funkcje. Ćwiartka I: obie dodatnie; II: $\sin +$, $\cos -$; III: obie ujemne; IV: $\sin -$, $\cos +$. Nic do kucia; patrzysz, gdzie ląduje $P$.
• Ograniczenie: współrzędne punktu okręgu jednostkowego mieszczą się w $[-1, 1]$, dlatego $\sin$ i $\cos$ nigdy nie przekraczają jedynki. Równanie $\sin x = 2$ jest jak $5^x = -25$ z §10.2: bez rozwiązań, z powodów strukturalnych.
• Kąt rozwarty przez ostry: punkty dla $\alpha$ i $180° - \alpha$ leżą symetrycznie względem osi pionowej, ta sama wysokość, przeciwna pierwsza współrzędna: $$\sin(180° - \alpha) = \sin \alpha, \qquad \cos(180° - \alpha) = -\cos \alpha.$$ Stąd $\sin 150° = \sin 30° = \frac{1}{2}$ i $\cos 150° = -\frac{\sqrt{3}}{2}$; geometria zamiast tablic. (W zakresie rozszerzonym §12.5 robi z tego systematyczny warsztat „wzorów redukcyjnych".)

💭 Pomyśl: W której ćwiartce leży punkt $P$ dla kąta $200°$ i jakie znaki mają tam $\sin$ i $\cos$?

Sprawdź odpowiedź

$200° = 180° + 20°$: tuż za półmetkiem, ćwiartka III (lewy dół). Obie współrzędne ujemne: $\sin 200° < 0$ i $\cos 200° < 0$.

⚠️ Uwaga, pułapka

Kolejność współrzędnych: cosinus pierwszy ($P = (\cos\alpha, \sin\alpha)$); pomylenie osi to najczęstsza usterka przy okręgu. Kotwica: dla małego kąta punkt $P$ leży prawie na osi X, czyli pierwsza współrzędna jest prawie $1$, a to pasuje do $\cos 0° = 1$. Druga mina: kąt odkładamy przeciwnie do zegara; $-30°$ to obrót w dół, nie w górę.

📌 Najważniejsze w pigułce

• Okrąg jednostkowy: $P = (\cos \alpha, \sin \alpha)$; definicja dla każdego kąta.
• $0°/90°/180°/270°$ → czytaj współrzędne $(1,0), (0,1), (-1,0), (0,-1)$.
• Znaki wg ćwiartki, w której ląduje $P$; zawsze $-1 \le \sin\alpha, \cos\alpha \le 1$.
• $\sin(180° - \alpha) = \sin\alpha$, $;\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha$: symetria względem osi Y.

🎒 Zadania

1. Odczytaj z okręgu (bez tablic): $\sin 180°$, $;\cos 270°$, $;\sin(-90°)$.
2. Oblicz $\sin 120°$ i $\cos 135°$, sprowadzając do kątów ostrych.
3. Czy istnieje kąt, dla którego $\cos \alpha = -\frac{7}{5}$? Uzasadnij jednym zdaniem.

Rozwiązanie krok po kroku

1. $P(180°) = (-1, 0)$: $\sin 180° = 0$. $;P(270°) = (0, -1)$: $\cos 270° = 0$. $;-90°$ to obrót w dół do $(0, -1)$: $\sin(-90°) = -1$.

2. $\sin 120° = \sin(180° - 60°) = \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$. $;\cos 135° = -\cos 45° = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

3. Nie: $-\frac{7}{5} < -1$, a cosinus to współrzędna punktu okręgu jednostkowego, nie opuszcza przedziału $[-1, 1]$.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

• wskazać punkt $P$ dla danego kąta i odczytać z niego znaki oraz wartości szczególne;
• sprowadzić funkcje kąta rozwartego do kąta ostrego.

---