Tożsamości trygonometryczne

🎯 Po co Ci to?

W zadaniu 3 z §12.1 wyszło Ci równiutko $1$, i to nie był przypadek. Sinus, cosinus i tangens nie są trzema niezależnymi funkcjami: wiąże je sieć tożsamości (równości prawdziwych dla każdego kąta; pojęcie z §4.4 wraca w nowym kostiumie). Praktyczny zysk: znasz jedną wartość, wyliczysz pozostałe; masz koszmarne wyrażenie, uprościsz je do jednej linijki.

✅ Czego się nauczysz

• rozumieć jedynkę trygonometryczną (i widzieć w niej Pitagorasa);
• wyliczać pozostałe funkcje ze znajomości jednej (ze znakiem z ćwiartki!);
• upraszczać wyrażenia i dowodzić prostych tożsamości.

📘 Wyjaśnienie

Wszystko wynika z jednego obrazka. Weź punkt na ramieniu kąta w odległości $r = 1$ od początku układu (§12.1): to $P = (\cos\alpha, \sin\alpha)$, a wszystkie takie punkty tworzą okrąg o promieniu $1$. Odległość $P$ od środka wynosi $1$, a odległość w układzie współrzędnych liczy twierdzenie Pitagorasa, i oto:

📐 FAKT (jedynka trygonometryczna): dla każdego kąta $\alpha$: $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1.$$

(Zapis $\sin^2\alpha$ znaczy $(\sin\alpha)^2$: kwadrat wartości, nie „sinus kwadratu kąta".) To najczęściej używany wzór całej trygonometrii, a jest tylko Pitagorasem przebranym za funkcje. Druga tożsamość siedzi w samej definicji:

$$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \qquad (\cos\alpha \ne 0).$$

Warsztat 1: z jednej wartości pozostałe. Wiadomo: $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ i $\alpha$ jest rozwarty. Jedynka: $\cos^2\alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$, więc $\cos\alpha = \pm\frac{4}{5}$. Który znak? Decyduje ćwiartka: kąt rozwarty to ćwiartka II, cosinus ujemny; $\cos\alpha = -\frac{4}{5}$. Stąd $\operatorname{tg}\alpha = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4}$. Zauważ rytuał: jedynka daje moduł, ćwiartka daje znak, oba kroki obowiązkowe.

Warsztat 2: upraszczanie i dowodzenie. Tak jak w §4.4, tożsamości dowodzi się przekształceniem jednej strony w drugą. Przykład: pokaż, że $(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = 1 + 2\sin\alpha\cos\alpha$.

$$(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = \sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha = \underbrace{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}_{=,1} + 2\sin\alpha\cos\alpha. ;\blacksquare$$

Kwadrat sumy z §4.2 plus jedynka, dwa stare narzędzia, zero nowej magii. Tak wygląda większość „strasznych" zadań trygonometrycznych: pod spodem czysta algebra z Części I.

💭 Pomyśl: Czy może istnieć kąt, dla którego $\sin\alpha = 0{,}9$ i $\cos\alpha = 0{,}5$ jednocześnie?

Sprawdź odpowiedź

Nie: $0{,}81 + 0{,}25 = 1{,}06 \ne 1$; jedynka trygonometryczna obalona, więc taka para nie odpowiada żadnemu kątowi (punkt $(0{,}5;, 0{,}9)$ leży poza okręgiem jednostkowym). Jedynka to test istnienia; kontrprzykład w stylu §1.5.

⚠️ Uwaga, pułapka

Z jedynki wychodzi $\cos^2\alpha$, a stąd dwa kandydaci na $\cos\alpha$: wybór bez spojrzenia na ćwiartkę to strata połowy punktów (i sensu). Pamiętaj też, że $\sqrt{\cos^2\alpha} = |\cos\alpha|$, nie $\cos\alpha$, to ta sama pułapka, co $\sqrt{a^2} = |a|$ w §3.2; minus nie znika dlatego, że go nie widać.

📌 Najważniejsze w pigułce

• $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$: Pitagoras na okręgu jednostkowym; test istnienia pary $(\cos, \sin)$.
• $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ ($\cos\alpha \ne 0$).
• Z jednej wartości: jedynka daje moduł, ćwiartka daje znak.
• Dowody tożsamości = algebra z §4.2–4.4 + jedynka; przekształcaj jedną stronę.

🎒 Zadania

1. $\cos\alpha = \frac{5}{13}$, kąt $\alpha$ ostry. Oblicz $\sin\alpha$ i $\operatorname{tg}\alpha$.
2. $\sin\alpha = \frac{12}{13}$, kąt $\alpha$ rozwarty. Oblicz $\cos\alpha$ i $\operatorname{tg}\alpha$.
3. Udowodnij tożsamość: $\frac{\sin^2\alpha}{1 + \cos\alpha} = 1 - \cos\alpha$ (dla $\cos\alpha \ne -1$).

Rozwiązanie krok po kroku

1. $\sin^2\alpha = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$; kąt ostry (ćwiartka I) → $\sin\alpha = \frac{12}{13}$; $;\operatorname{tg}\alpha = \frac{12}{5}$.

2. $\cos^2\alpha = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169}$; rozwarty (ćwiartka II) → $\cos\alpha = -\frac{5}{13}$; $;\operatorname{tg}\alpha = -\frac{12}{5}$. (Te same liczby co w zad. 1, inne znaki: ćwiartka rządzi.)

3. Lewa strona: $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = (1-\cos\alpha)(1+\cos\alpha)$ (jedynka + różnica kwadratów z §4.2). Po skróceniu z mianownikiem: $1 - \cos\alpha$ = prawa strona. $\blacksquare$

🔍 Sprawdź, czy umiesz

• wyliczyć pozostałe funkcje z jednej wartości, z poprawnym znakiem;
• udowodnić tożsamość, wskazując, które stare narzędzie (§4.2/§4.4) pracuje.

---