Wykresy — matematyka fali; wzory redukcyjne

🎯 Po co Ci to?

Nagraj dźwięk kamertonu i spójrz na oscyloskop: zobaczysz sinusoidę. Głośniej: fala wyższa. Wyższy ton: fala gęstsza. Trzy pokrętła: amplituda, częstotliwość, przesunięcie, i wszystkie trzy już umiesz obsługiwać, bo to dokładnie przekształcenia wykresów z Działu 6, tylko przyłożone do sinusoidy. Do tego rozbroisz „wzory redukcyjne", postrach pokoleń, który przy okręgu jednostkowym okazuje się jedną obserwacją o symetriach.

✅ Czego się nauczysz

szkicować $y = a\sin(bx) + c$ i spółkę, czytając parametry jak ruchy z Działu 6;
porównywać wykresy sinusa i cosinusa (to ta sama fala!);
wyprowadzać wzory redukcyjne z symetrii okręgu, zamiast ich kucia;
stosować (i umieć udowodnić) wzory na sinus, cosinus i tangens sumy i różnicy kątów oraz kąta podwojonego;
rozwiązywać równania trygonometryczne.

📘 Wyjaśnienie

Fala z pokrętłami. Bazą jest sinusoida z §12.4; każdy parametr to znajome przekształcenie:

$y = 2\sin x$: rozciągnięcie pionowe (§6.4): fala sięga $\pm 2$. Amplituda = połowa rozstępu fali, w akustyce: głośność.
$y = \sin 2x$: ściśnięcie poziome (§6.4, „wejście działa na odwrót"): fala robi pełny cykl już na odcinku $\pi$, czyli okres $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$. Ogólnie $T = \frac{2\pi}{b}$, w akustyce więcej cykli na sekundę to wyższy ton.
$y = \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$: przesunięcie w prawo (§6.2): fala „spóźniona" o $\frac{\pi}{3}$; fizycy mówią przesunięcie fazowe.
$y = \sin x + 1$: winda w górę (§6.2).

Dwa panele fal: sinusoida o amplitudzie 2 na tle zwykłej oraz sinusoida sin 2x o dwukrotnie krótszym okresie. · rys. własny

Zero nowych reguł: czysty recykling Działu 6. Przykład zbiorczy: $y = 3\sin(2x) - 1$ faluje między $-4$ a $2$ (amplituda $3$, środek $-1$) z okresem $\pi$.

Cosinus to przesunięty sinus. Nawiń $x = 0$: sinus startuje z $0$, cosinus z $1$. Ale kształt fali jest identyczny; cosinusoida to sinusoida przesunięta o ćwierć okresu w lewo: $$\cos x = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right).$$ Jedna fala, dwa punkty startu, dlatego fizycy mówią po prostu „przebieg sinusoidalny", nie rozróżniając.

Wzory redukcyjne bez kucia. Chodzi o wyrażenia typu $\sin(\pi - x)$, $\cos(\pi + x)$, $\sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right)$… Tablice podają dziesiątki wzorów; okrąg jednostkowy podaje metodę. Punkty dla $x$ i dla $\pi - x$, $\pi + x$, $2\pi - x$, $-x$ leżą na okręgu symetrycznie (względem osi Y, środka, osi X), a symetrie zmieniają znaki współrzędnych w przewidywalny sposób. Procedura dwóch pytań:

W której ćwiartce ląduje kąt?, stąd znak wyniku (§12.2).
Jaki kąt ostry „odstaje" od osi?, stąd wartość.

Przykład: $\cos\left(\pi + x\right)$ dla ostrego $x$. Kąt $\pi + x$ to ćwiartka III; cosinus ujemny; odstawanie od osi poziomej to $x$. Wynik: $\cos(\pi + x) = -\cos x$. Tak samo załatwisz każdy inny: $\sin(\pi - x) = \sin x$ (ćwiartka II, sinus dodatni, to nasz wzór z §12.2), $;\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x$ (lustro względem przekątnej; stara zamiana ról z §12.1). Przy kątach z osią pionową ($\frac{\pi}{2} \pm x$, $\frac{3\pi}{2} \pm x$) funkcja zamienia się w siostrzaną (sin ↔ cos), bo symetria względem przekątnej zamienia współrzędne miejscami.

Wzory na sumę i różnicę kątów. Znając funkcje kątów $30°$ i $45°$, policzysz $\cos 15°$ albo $\sin 75°$, jeśli wiesz, jak funkcje sumy i różnicy wyrażają się przez funkcje składników. Wszystko wynika z jednego wzoru:

📐 TWIERDZENIE: $;\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta.$

Dowód. Na okręgu jednostkowym weź punkty $P = (\cos\alpha, \sin\alpha)$ i $Q = (\cos\beta, \sin\beta)$; kąt $POQ$ ma miarę $\alpha - \beta$ (dla czytelności przyjmij $0 < \alpha - \beta < \pi$; pozostałe przypadki wynikają z parzystości i okresowości cosinusa). Policz $|PQ|^2$ na dwa sposoby. Ze współrzędnych (§15.1): $(\cos\alpha - \cos\beta)^2 + (\sin\alpha - \sin\beta)^2 = 2 - 2(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta)$, bo $\cos^2 + \sin^2 = 1$ dwa razy. Z twierdzenia cosinusów w trójkącie $OPQ$ o ramionach $1$ i $1$ (§14.5): $|PQ|^2 = 1 + 1 - 2\cos(\alpha - \beta)$. Porównaj. $\blacksquare$

Reszta to podstawienia. Wstaw $-\beta$ (cosinus parzysty, sinus nieparzysty): $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$. Wzór redukcyjny $\sin x = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$ zamienia sinus sumy na cosinus różnicy:

$$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta, \qquad \cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta, \qquad \operatorname{tg}(\alpha \pm \beta) = \frac{\operatorname{tg}\alpha \pm \operatorname{tg}\beta}{1 \mp \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}$$

(tangens: podziel licznik i mianownik przez $\cos\alpha\cos\beta$). Dla $\beta = \alpha$ dostajesz kąty podwojone: $$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha, \qquad \cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha, \qquad \operatorname{tg} 2\alpha = \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}.$$ Przykład: $\cos 15° = \cos(45° - 30°) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

Równania trygonometryczne. Równanie $\sin x = a$ ma rozwiązania tylko dla $-1 \le a \le 1$, a wtedy nieskończenie wiele, bo fala się powtarza. Przepis: znajdź jedno rozwiązanie $x_0$ (z tabeli albo z okręgu), dołóż drugie z tego samego okresu z symetrii okręgu, potem dodaj wielokrotności okresu:

$\sin x = a$: $;x = x_0 + 2k\pi$ lub $x = \pi - x_0 + 2k\pi$;
$\cos x = a$: $;x = x_0 + 2k\pi$ lub $x = -x_0 + 2k\pi$;
$\operatorname{tg} x = a$: $;x = x_0 + k\pi$ (tangens ma okres $\pi$),

gdzie $k$ to dowolna liczba całkowita. Przykład: $\sin x = \frac{1}{2}$ daje $x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$ lub $x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$. Równania bardziej złożone sprowadzasz do tych podstawowych starymi narzędziami: podstawieniem ($2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$ to równanie kwadratowe z $t = \cos x$), rozkładem na czynniki ($\sin 2x = \cos x$ to $\cos x,(2\sin x - 1) = 0$) i wzorami powyżej. Gdy zadanie wskazuje przedział, na końcu wybierz z serii tylko rozwiązania, które w nim leżą.

💭 Pomyśl: Tętno na monitorze EKG faluje $72$ razy na minutę. Jaki jest okres $T$ tej fali w sekundach, i który parametr sinusoidy o tym mówi?

Sprawdź odpowiedź

$T = \frac{60}{72} \approx 0{,}83$ s: czas jednego pełnego cyklu; we wzorze $a\sin(bt)$ siedzi w $b = \frac{2\pi}{T}$. Amplituda z kolei mówiłaby o „sile" sygnału. Lekarz czyta z fali dokładnie te parametry, które Ty czytasz ze wzoru.

⚠️ Uwaga, pułapka

W $y = \sin(2x)$ okres maleje do $\pi$: odruch „większe $b$, dłuższa fala" jest odwrotny do prawdy (pułapka „wejście działa na odwrót" z §6.4, wydanie faliste). Przy wzorach redukcyjnych zaś nie mieszaj kolejności: najpierw znak z ćwiartki, potem wartość z kąta ostrego, kto zaczyna od „przepisania wzoru z pamięci", ten myli znaki w co drugiej linijce.

🕰️ Skąd to się wzięło

Że każdy dźwięk (nawet chrapliwy głos i brzęk talerza) daje się rozłożyć na sumę czystych sinusoid, wykazał w początkach XIX wieku Joseph Fourier, badając… przepływ ciepła. Pomysł uznano początkowo za zbyt śmiały (protestował sam Lagrange), a dziś analiza Fouriera siedzi w każdym MP3, JPEG-u i telefonie: Twoja muzyka to dosłownie lista amplitud i częstotliwości sinusoid. Fala, którą szkicujesz w tym rozdziale, jest atomem, z którego złożony jest cały cyfrowy świat dźwięku i obrazu.

📌 Najważniejsze w pigułce

$a\sin(bx + c) + d$: amplituda $|a|$, okres $\frac{2\pi}{b}$, faza i winda, wszystko Działem 6.
$\cos x = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$: jedna fala, różne starty.
Wzory redukcyjne = symetrie okręgu: znak z ćwiartki + wartość z kąta ostrego; przy osi pionowej sin ↔ cos.
Fala = amplituda (głośność) + częstotliwość (ton) + faza (opóźnienie).
$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$ (dowód: $|PQ|^2$ dwoma sposobami); z niego sinus i tangens sumy oraz kąty podwojone.
Równania: jedno rozwiązanie + symetria okręgu + okres ($2k\pi$ dla sin i cos, $k\pi$ dla tg).

🎒 Zadania

Dla $y = 4\sin(3x)$ podaj amplitudę, okres i zbiór wartości.
Zredukuj z okręgu (uzasadnij ćwiartką): $\sin(\pi + x)$; $;\cos(2\pi - x)$; $;\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$.
Naszkicuj jeden okres $y = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$ i wskaż, jakim przekształceniem różni się od $y = 2\sin x$… a potem zauważ coś zabawnego w związku z cosinusem.
Oblicz $\sin 75°$ i $\cos 2\alpha$, jeśli $\sin\alpha = \frac{1}{3}$.
Rozwiąż równanie $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Rozwiąż równanie $\cos 2x = \cos x$ w przedziale $[0, 2\pi]$.

Rozwiązanie krok po kroku

1. Amplituda $4$; okres $\frac{2\pi}{3}$; wartości $[-4, 4]$.

2. $\pi + x$: ćwiartka III, sinus ujemny, odstawanie $x$: $-\sin x$. $;2\pi - x$: ćwiartka IV, cosinus dodatni: $\cos x$. $;\frac{\pi}{2} - x$: lustro względem przekątnej; zamiana ról: $\sin x$.

3. Przesunięcie $2\sin x$ o $\frac{\pi}{2}$ w prawo: fala startuje od dołu, w punkcie $(0, -2)$… a to dokładnie wykres $-2\cos x$! Sprawdź: $\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = -\cos x$ (redukcja: ćwiartka i symetria). Sinus, cosinus i ich odbicia to wciąż jedna i ta sama fala.

4. $\sin 75° = \sin(45° + 30°) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$. $;\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$.

5. Z tabeli $x_0 = \frac{\pi}{3}$; drugie z okresu $\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$. Odpowiedź: $x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$ lub $x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$, $k$ całkowite.

6. $2\cos^2 x - 1 = \cos x$, czyli $2t^2 - t - 1 = 0$ dla $t = \cos x$; stąd $(2t + 1)(t - 1) = 0$. $\cos x = 1$: $x = 0$ lub $x = 2\pi$. $\cos x = -\frac{1}{2}$: $x = \frac{2\pi}{3}$ lub $x = \frac{4\pi}{3}$. Cztery rozwiązania w przedziale.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

odczytać amplitudę, okres i przesunięcie ze wzoru i naszkicować falę;
zredukować dowolne $\sin/\cos(k \cdot \frac{\pi}{2} \pm x)$ dwoma pytaniami: ćwiartka? kąt ostry?;
udowodnić wzór na $\cos(\alpha - \beta)$ i wyprowadzić z niego pozostałe;
rozwiązać równanie trygonometryczne i wybrać rozwiązania z przedziału.

Ucz się tej jednostki z asystentem