Twierdzenie Talesa

🎯 Po co Ci to?

Jak zmierzyć wysokość piramidy, mając do dyspozycji kij? Starożytna anegdota (przekazana m.in. przez Plutarcha) głosi, że Tales z Miletu zrobił to tak: wbił kij w piasek i poczekał, aż cień kija zrówna się długością z kijem, wtedy i cień piramidy musiał być równy jej wysokości. Za tą sztuczką stoi ogólna zasada: równoległe proste tną ramiona kąta w tej samej proporcji. To najstarsze twierdzenie z nazwiskiem, i codzienne narzędzie: mapy, makiety, cienie, skale.

✅ Czego się nauczysz

  • formułować i stosować twierdzenie Talesa;
  • obliczać brakujące odcinki z proporcji;
  • używać Talesa w terenie: cienie, wysokości, plany.
  • (rozszerzenie) stosować twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa.

📘 Wyjaśnienie

📐 TWIERDZENIE (Talesa): jeśli ramiona kąta o wierzchołku $O$ przetniemy dwiema prostymi równoległymi, przecinającymi ramiona w punktach $A, B$ (jedno ramię) oraz $C, D$ (drugie), to $$\frac{|OA|}{|OB|} = \frac{|OC|}{|OD|}.$$

równoległeOABCD
Kąt o wierzchołku O przecięty dwiema równoległymi prostymi: punkty A i B na górnym ramieniu, C i D na dolnym; równoległe odcinki AC i BD zaznaczone kolorem, a stosunki odcinków na obu ramionach są równe. · rys. własny

Intuicja: równoległa prosta to „powiększające szkło"; przesuwając ją wzdłuż ramion, skalujesz cały układ jednakowo w obu kierunkach (bo równoległe nie skręcają; §13.1). Proporcje można czytać na kilka sposobów (np. $\frac{|OA|}{|AB|} = \frac{|OC|}{|CD|}$), wszystkie są równoważne tej głównej.

Rachunek w praktyce. Niech $|OA| = 4$, $|AB| = 6$ (więc $|OB| = 10$), $|OC| = 6$. Ile wynosi $|OD|$? $$\frac{4}{10} = \frac{6}{|OD|} ;\Rightarrow; |OD| = \frac{6 \cdot 10}{4} = 15.$$

Tales w terenie: wróćmy do cieni, ale w wersji ogólnej (słońce nie musi czekać na kąt $45°$). Promienie słoneczne są (praktycznie) równoległe, więc drzewo i kij tworzą z własnymi cieniami podobne układy: $$\frac{\text{wysokość drzewa}}{\text{cień drzewa}} = \frac{\text{wysokość kija}}{\text{cień kija}}.$$ Kij $1{,}5$ m rzuca cień $2$ m, drzewo cień $16$ m: wysokość $= 1{,}5 \cdot \frac{16}{2} = 12$ m. Bez wspinaczki, dokładnie jak obiecywał wstęp działu; tyle że tym razem umiesz uzasadnić, czemu proporcja obowiązuje.

Twierdzenie odwrotne (rozszerzenie). Tales mówi: równoległe proste ⇒ równe proporcje. Działa też w drugą stronę:

📐 TWIERDZENIE (odwrotne do twierdzenia Talesa): jeśli na jednym ramieniu kąta o wierzchołku $O$ leżą punkty $A, B$, na drugim $C, D$ i $\frac{|OA|}{|OB|} = \frac{|OC|}{|OD|}$, to proste $AC$ i $BD$ są równoległe.

Dowód. Przez $A$ poprowadź prostą równoległą do $BD$; niech przetnie drugie ramię w $C'$. Z twierdzenia Talesa $\frac{|OA|}{|OB|} = \frac{|OC'|}{|OD|}$, a z założenia ten sam stosunek to $\frac{|OC|}{|OD|}$. Zatem $|OC'| = |OC|$, a oba punkty leżą na tym samym ramieniu, więc $C' = C$ i prosta $AC$ jest tą poprowadzoną równoległą. $\blacksquare$ Najczęstsze zastosowanie: odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta jest równoległy do trzeciego boku (proporcja $\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$), a z podobieństwa (§14.3) ma połowę jego długości.

💭 Pomyśl: Na planie osiedla w skali $1{:}500$ ścieżka ma $7$ cm. Ile ma naprawdę, i co to ma wspólnego z Talesem?

Sprawdź odpowiedź

$7 \text{ cm} \cdot 500 = 3500$ cm $= 35$ m. Skala mapy to dokładnie proporcja Talesa: wszystkie odcinki pomniejszone tym samym mnożnikiem; mapa jest równoległym „cięciem" rzeczywistości.

⚠️ Uwaga, pułapka

Proporcję układaj konsekwentnie: liczniki z jednego ramienia, mianowniki z odpowiadających im odcinków drugiego, i pilnuj, czy porównujesz „od wierzchołka" ($|OA|$ z $|OC|$), czy „między prostymi" ($|AB|$ z $|CD|$). Wymieszanie konwencji w połowie rachunku to najczęstszy błąd talesowych zadań. Gdy wątpisz, narysuj i podpisz odcinki, zanim napiszesz ułamek.

🕰️ Skąd to się wzięło

Tales z Miletu (ok. 600 r. p.n.e.) uchodzi za pierwszego matematyka w historii: pierwszego, który twierdzenia uzasadniał, zamiast tylko stosować. Przypisuje mu się (relacje są późniejsze o wieki, więc ostrożnie) pomiar piramid z cienia, przewidzenie zaćmienia Słońca i kilka twierdzeń geometrii. Grecy uczynili z jego podejścia program: trzysta lat później Euklides zbierze geometrię w „Elementach", dziele, z którego świat uczył się matematyki przez dwa tysiąclecia i które do dziś jest wzorcem budowli „aksjomaty → twierdzenia → dowody" (spotkałeś ten styl w §1.5, to spadek po Grekach).

📌 Najważniejsze w pigułce

  • Równoległe cięcia ramion kąta zachowują proporcję: $\frac{|OA|}{|OB|} = \frac{|OC|}{|OD|}$.
  • Proporcję wolno czytać też „między prostymi": byle konsekwentnie.
  • Cienie przy równoległych promieniach = Tales w terenie; skala mapy = Tales na papierze.
  • (R) Odwrotnie: równe proporcje ⇒ proste równoległe (np. odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta).
  • Tales = pierwszy, który dowodził; Euklides = kodyfikator całej budowli.

🎒 Zadania

  1. Na ramionach kąta: $|OA| = 6$, $|OB| = 15$, $|OC| = 8$. Oblicz $|OD|$ (proste $AC \parallel BD$).
  2. Latarnia rzuca cień $9$ m w chwili, gdy słupek o wysokości $1{,}2$ m rzuca cień $1{,}8$ m. Jak wysoka jest latarnia?
  3. W trójkącie $ABC$ prosta równoległa do boku $BC$ przecina $AB$ w punkcie $K$ i $AC$ w punkcie $L$, przy czym $|AK| = 4$, $|KB| = 6$, $|AL| = 5$. Oblicz $|LC|$.
Rozwiązanie krok po kroku

1. $\frac{6}{15} = \frac{8}{|OD|} \Rightarrow |OD| = \frac{8 \cdot 15}{6} = 20$.

2. $\frac{h}{9} = \frac{1{,}2}{1{,}8} \Rightarrow h = 9 \cdot \frac{2}{3} = 6$ m.

3. Kąt przy $A$, równoległe $KL \parallel BC$: $\frac{|AK|}{|AB|} = \frac{|AL|}{|AC|}$, czyli $\frac{4}{10} = \frac{5}{|AC|} \Rightarrow |AC| = 12{,}5$, więc $|LC| = 12{,}5 - 5 = 7{,}5$.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

  • ułożyć poprawną proporcję z rysunku (i wskazać, które odcinki sobie odpowiadają);
  • zmierzyć wysokość „niedostępnego" obiektu cieniem.

Ucz się tej jednostki z asystentem