Trójkąt i nierówność trójkąta

🎯 Po co Ci to?

Czas rozstrzygnąć zagadkę kijów $1, 2, 5$. Przy okazji poznasz trójkąt od podszewki: dlaczego suma jego kątów to zawsze $180°$ (i skąd to wiadomo, a nie tylko „bo pani tak mówiła"), jakie trójkąty w ogóle istnieją i kiedy trzy liczby mogą być bokami. Trójkąt to atom geometrii, każdy wielokąt da się pociąć na trójkąty, więc kto rozumie trójkąt, ten rozumie wszystko, co da się narysować z odcinków.

✅ Czego się nauczysz

• klasyfikować trójkąty (boki: różnoboczny/równoramienny/równoboczny; kąty: ostro-/prosto-/rozwartokątny);
• dowodzić i stosować sumę kątów $180°$;
• rozstrzygać nierównością trójkąta, czy trzy długości tworzą trójkąt;
• porównywać boki trójkąta po kątach (naprzeciw większego kąta leży dłuższy bok).

📘 Wyjaśnienie

Suma kątów. W każdym trójkącie kąty wewnętrzne sumują się do $180°$, a dowód jest perełką jednej linii pomocniczej. Przez wierzchołek $C$ poprowadź prostą równoległą do boku $AB$. Przy $C$ powstają trzy kąty, które razem tworzą kąt półpełny ($180°$). Skrajne dwa to kąty naprzemianległe z kątami przy $A$ i przy $B$ (transwersalami są boki $AC$ i $BC$), więc są im równe (§13.1). Zostaje środkowy, to kąt przy $C$. Suma trzech kątów trójkąta $=$ suma trzech kątów przy $C$ $= 180°$. $\blacksquare$ Jedna równoległa i twierdzenie gotowe, tak smakuje geometria.

Praktyczny wniosek: trzeci kąt zawsze wyliczysz z dwóch; kąt zewnętrzny (przyległy do wewnętrznego) równa się sumie dwóch pozostałych wewnętrznych ($180° - \gamma = \alpha + \beta$).

Klasyfikacja (dwie niezależne osie, które się krzyżują):

• wg boków: różnoboczny / równoramienny (dwa boki równe; i, co ważne, kąty przy podstawie równe) / równoboczny (wszystko równe, kąty po $60°$);
• wg kątów: ostrokątny / prostokątny (jeden $90°$) / rozwartokątny (jeden $> 90°$). Dwóch kątów prostych lub rozwartych mieć nie sposób; suma przekroczyłaby $180°$.

Nierówność trójkąta. Klucz do kijów:

📐 FAKT (nierówność trójkąta): trzy odcinki utworzą trójkąt wtedy i tylko wtedy, gdy suma każdych dwóch jest większa od trzeciego. (W praktyce wystarczy sprawdzić, czy dwa najkrótsze przebijają najdłuższy.)

Intuicja jest spacerowa: bok $AB$ to najkrótsza droga z $A$ do $B$; droga „przez wierzchołek $C$" ($|AC| + |CB|$) musi być dłuższa; inaczej $C$ leżałby na odcinku $AB$ i trójkąt spłaszczyłby się do kreski. Kije $1, 2, 5$: sprawdzamy $1 + 2 = 3 < 5$, dwa krótsze nie domykają najdłuższego. Zagadka ze wstępu rozwiązana: to nie zręczność, to twierdzenie.

Większy kąt, dłuższy bok. Kąty i boki trójkąta ustawiają się w tej samej kolejności:

📐 FAKT: w trójkącie naprzeciw większego kąta leży dłuższy bok, a naprzeciw dłuższego boku leży większy kąt.

Dowód w jednym rysunku. Niech $|AC| > |AB|$. Odmierz na boku $AC$ punkt $D$ tak, by $|AD| = |AB|$. Trójkąt $ABD$ jest równoramienny, więc $|\angle ABD| = |\angle ADB|$. Kąt $ADB$ jest zewnętrzny dla trójkąta $BDC$, więc jest większy od kąta przy $C$. Stąd $|\angle ABC| > |\angle ABD| = |\angle ADB| > |\angle ACB|$: naprzeciw dłuższego boku $AC$ stoi większy kąt $B$. $\blacksquare$ Kierunek od kąta do boku wynika z tego nie wprost (§1.5): gdyby naprzeciw większego kąta bok nie był dłuższy, byłby równy (wtedy trójkąt jest równoramienny i kąty są równe) albo krótszy (wtedy z dowodu kąt byłby mniejszy). Obie możliwości przeczą założeniu.

Wniosek na co dzień: najdłuższy bok leży naprzeciw największego kąta. Dlatego w trójkącie prostokątnym najdłuższa jest przeciwprostokątna, a w rozwartokątnym bok naprzeciw kąta rozwartego.

💭 Pomyśl: W trójkącie równoramiennym kąt między ramionami ma $40°$. Jakie są kąty przy podstawie?

Sprawdź odpowiedź

Kąty przy podstawie są równe (równoramienność), a suma to $180°$: każdy ma $\frac{180° - 40°}{2} = 70°$.

⚠️ Uwaga, pułapka

W nierówności trójkąta nierówność jest ostra: $2, 3, 5$ też nie tworzą trójkąta, bo $2 + 3 = 5$; punkty leżą na jednej prostej (trójkąt „zdegenerowany" do odcinka). I nie daj się zwieść rysunkowi równoramiennego „ostrosłupka": równoramienny może być też prostokątny lub rozwartokątny; osie klasyfikacji są niezależne i lubią się mieszać w zadaniach podchwytliwych.

📌 Najważniejsze w pigułce

• Suma kątów $= 180°$: dowód jedną równoległą przez wierzchołek (naprzemianległe!).
• Kąt zewnętrzny = suma dwóch niesąsiednich wewnętrznych.
• Dwie osie klasyfikacji: boki × kąty; równoramienny → równe kąty przy podstawie.
• Nierówność trójkąta (ostra!): dwa krótsze razem $>$ najdłuższy; inaczej trójkąta nie ma.
• Naprzeciw większego kąta leży dłuższy bok (i odwrotnie).

🎒 Zadania

1. Kąty trójkąta pozostają w stosunku $2 : 3 : 4$. Oblicz je i sklasyfikuj trójkąt wg kątów.
2. Które trójki mogą być bokami trójkąta: $(3, 4, 6)$; $;(1, 10, 12)$; $;(5, 5, 10)$?
3. Kąt zewnętrzny przy wierzchołku $C$ trójkąta ma $110°$, a kąt przy $A$ ma $50°$. Oblicz kąty wewnętrzne przy $B$ i $C$.
4. Boki trójkąta mają długości $7$, $x$ i $12$. Jakie wartości może przyjmować $x$? (Odpowiedź przedziałem.)
5. W trójkącie $ABC$ kąt przy $A$ ma $50°$, a kąt przy $B$ ma $75°$. Który bok jest najdłuższy, a który najkrótszy?

Rozwiązanie krok po kroku

1. $2x + 3x + 4x = 180° \Rightarrow x = 20°$: kąty $40°, 60°, 80°$, wszystkie ostre, trójkąt ostrokątny.

2. $(3,4,6)$: $3+4=7 > 6$ ✓; tak. $(1,10,12)$: $1+10=11 < 12$; nie. $(5,5,10)$: $5+5=10$ (równość, degeneracja) nie.

3. Kąt wewnętrzny przy $C$: $180° - 110° = 70°$. Przy $B$: $180° - 50° - 70° = 60°$. (Kontrola kątem zewnętrznym: $50° + 60° = 110°$ ✓.)

4. Trzy warunki: $7 + x > 12$, $7 + 12 > x$, $x + 12 > 7$ (ostatni zawsze). Stąd $x > 5$ i $x < 19$: $;x \in (5, 19)$.

5. Kąt przy $C$: $180° - 50° - 75° = 55°$. Największy kąt to $75°$ przy $B$, więc najdłuższy jest bok naprzeciw, $AC$. Najmniejszy kąt to $50°$ przy $A$, więc najkrótszy jest $BC$.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

• odtworzyć dowód sumy kątów (linia pomocnicza + naprzemianległe);
• rozstrzygnąć istnienie trójkąta i wyznaczyć zakres trzeciego boku;
• uporządkować boki trójkąta według jego kątów.

---