Okrąg i koło — kąty wpisane i środkowe

🎯 Po co Ci to?

Usiądź w kinie w ostatnim rzędzie, a potem przesiądź się pod ekran: kąt, pod jakim widzisz ekran, zmienia się dramatycznie. A teraz ciekawostka: gdyby widownia była wygięta w łuk okręgu przechodzący przez brzegi ekranu, z każdego fotela ekran byłoby widać pod tym samym kątem. To nie fantazja architekta, to twierdzenie o kącie wpisanym, jedno z najpiękniejszych w całej geometrii.

✅ Czego się nauczysz

• odróżniać okrąg od koła; nazywać cięciwę, łuk, promień, średnicę;
• stosować twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym;
• korzystać z wniosków: równe kąty na tym samym łuku, kąt oparty na średnicy.

📘 Wyjaśnienie

Porządek w słowniku: okrąg to sama „obwódka" (punkty odległe o $r$ od środka), koło to obwódka wraz z wnętrzem. Cięciwa łączy dwa punkty okręgu (najdłuższa cięciwa to średnica, $2r$), a cięciwa wycina z okręgu dwa łuki.

Dwa rodzaje kątów patrzą na ten sam łuk:

📐 DEFINICJA: kąt środkowy ma wierzchołek w środku okręgu, kąt wpisany, na okręgu; oba „opierają się" na łuku wyciętym przez swoje ramiona.

📐 TWIERDZENIE (o kącie środkowym i wpisanym): kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku.

Szkic dowodu (przypadek, gdy jedno ramię kąta wpisanego przechodzi przez środek): trójkąt $SPA$ jest równoramienny (dwa promienie!), więc kąty przy $P$ i $A$ są równe; nazwijmy je $\alpha$. Kąt środkowy $ASB$ jest kątem zewnętrznym tego trójkąta, a kąt zewnętrzny to suma dwóch niesąsiednich wewnętrznych (§13.3): $\alpha + \alpha = 2\alpha$. $\blacksquare$ Pozostałe położenia sprowadza się do tego przypadku; same znane klocki.

Z twierdzenia sypią się wnioski-perły:

• Wszystkie kąty wpisane na tym samym łuku są równe (każdy to połowa tego samego kąta środkowego), stąd kinowa widownia-łuk: ekran to cięciwa, fotele to punkty łuku.
• Ogólniej: kąty wpisane w ten sam okrąg są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są oparte na równych łukach. Równe łuki to równe kąty środkowe, a kąt wpisany jest połową środkowego; i odwrotnie, równe kąty wpisane dają równe kąty środkowe (dwa razy większe), a te wycinają równe łuki.
• Kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty (twierdzenie Talesa o okręgu): średnica daje kąt środkowy $180°$, więc wpisany ma $90°$. Praktyczny skutek: chcesz narysować kąt prosty cyrklem i linijką? Narysuj okrąg, poprowadź średnicę, wybierz dowolny punkt okręgu; gotowe.

Czworokąt wpisany w okrąg (rozszerzenie).

📐 TWIERDZENIE: czworokąt wypukły $ABCD$ można wpisać w okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy $|\angle A| + |\angle C| = |\angle B| + |\angle D| = 180°$.

Dowód w jedną stronę. Gdy $ABCD$ jest wpisany, kąty przy $A$ i $C$ są wpisane i oparte na dwóch łukach $BD$, które razem tworzą cały okrąg. Kąty środkowe tych łuków sumują się do $360°$, a wpisane są ich połowami, więc $|\angle A| + |\angle C| = 180°$; tak samo dla $B$ i $D$. W drugą stronę (nie wprost): poprowadź okrąg przez $A$, $B$, $D$. Gdyby $C$ leżał wewnątrz niego, kąt $BCD$ byłby większy od kąta wpisanego opartego na łuku $BD$ z tej strony (kąt zewnętrzny trójkąta, §13.3), czyli większy niż $180° - |\angle A|$; gdyby na zewnątrz, byłby mniejszy. Równość sumy do $180°$ zostawia tylko jedną możliwość: $C$ leży na okręgu. $\blacksquare$ Stąd np. każdy prostokąt i każdy trapez równoramienny da się wpisać w okrąg, a równoległobok niebędący prostokątem nie.

💭 Pomyśl: Kąt środkowy oparty na łuku ma $140°$. Jaki kąt widzi ten łuk z dowolnego punktu przeciwnego łuku?

Sprawdź odpowiedź

Kąt wpisany $= \frac{140°}{2} = 70°$, i to z każdego punktu przeciwnego łuku tyle samo. (Właśnie dlatego pytanie mogło brzmieć „z dowolnego".)

⚠️ Uwaga, pułapka

„Ten sam łuk" to warunek, nie ozdobnik: kąty wpisane oparte na różnych łukach tej samej cięciwy nie są równe; sumują się do $180°$ (dwa łuki dopełniają się do pełnego okręgu). Zanim zastosujesz twierdzenie, wskaż palcem łuk, na którym opiera się każdy z kątów; ramiona przecinają okrąg w dwóch punktach, a łuk to ta część między nimi, po przeciwnej stronie wierzchołka.

📌 Najważniejsze w pigułce

• Okrąg = brzeg, koło = brzeg + wnętrze; cięciwa, łuk, średnica $= 2r$.
• Kąt środkowy $= 2 \times$ kąt wpisany (ten sam łuk!); dowód przez trójkąt równoramienny z promieni.
• Kąty wpisane na tym samym łuku: równe.
• Kąt oparty na średnicy: prosty ($90°$).
• (R) Czworokąt wpisany ⇔ przeciwległe kąty dają $180°$.

🎒 Zadania

1. Kąt wpisany oparty na łuku ma $34°$. Jaki jest kąt środkowy na tym samym łuku?
2. Punkty $A$, $B$, $C$ leżą na okręgu, przy czym $AB$ jest średnicą, a $|\angle BAC| = 28°$. Oblicz $|\angle ABC|$.
3. Cięciwa dzieli okrąg na dwa łuki. Kąt wpisany oparty na większym łuku ma $110°$. Jaki kąt jest oparty na mniejszym?

Rozwiązanie krok po kroku

1. $2 \cdot 34° = 68°$.

2. Kąt przy $C$ oparty na średnicy: $90°$. Suma kątów trójkąta: $|\angle ABC| = 180° - 90° - 28° = 62°$.

3. Kąty wpisane na dopełniających się łukach sumują się do $180°$: $;180° - 110° = 70°$.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

• wskazać łuk, na którym opiera się kąt, i zastosować regułę $\times 2$ / $\div 2$;
• użyć kąta na średnicy jako darmowego kąta prostego.

---