Styczna i sieczna

🎯 Po co Ci to?

Koło roweru dotyka jezdni w jednym punkcie, i w tym punkcie szprycha (promień!) stoi prostopadle do asfaltu. Kamień puszczony z procy wylatuje po stycznej do okręgu, który przed chwilą zataczał. Styczność to geometria kontaktu: jeden punkt wspólny, zero przecinania, i jedno twierdzenie, które załatwia większość zadań.

✅ Czego się nauczysz

• rozróżniać trzy położenia prostej względem okręgu;
• stosować prostopadłość stycznej do promienia;
• korzystać z równości odcinków stycznych z punktu zewnętrznego.
• (rozszerzenie) rozpoznawać czworokąty opisane na okręgu.

📘 Wyjaśnienie

Prosta i okrąg mogą mieć 0, 1 albo 2 punkty wspólne: rozstrzyga odległość $d$ środka od prostej w porównaniu z promieniem $r$: $d > r$: rozłączne; $d = r$: styczna (jeden punkt); $d < r$: sieczna (dwa punkty). Trzecia możliwość ze wstępu działu ma więc swój dokładny warunek, i kluczową własność:

📐 TWIERDZENIE (o stycznej): styczna do okręgu jest prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności. (I odwrotnie: prosta prostopadła do promienia w jego końcu jest styczna.)

Dlaczego prostopadła? Promień do punktu styczności realizuje najkrótszą odległość środka od prostej (każdy inny punkt stycznej leży już poza okręgiem, czyli dalej niż $r$), a najkrótszy odcinek z punktu do prostej jest zawsze prostopadły. Znów żadnej magii: definicja odległości robi całą robotę.

Druga perła dotyczy dwóch stycznych:

📐 FAKT (odcinki stycznych): z punktu $P$ leżącego poza okręgiem można poprowadzić dokładnie dwie styczne, a odcinki od $P$ do punktów styczności są równe.

Dowód jednym spojrzeniem: trójkąty $PST_1$ i $PST_2$ ($S$ to środek) mają wspólną przeciwprostokątną $PS$, równe przyprostokątne-promienie i kąty proste przy $T_1, T_2$, z Pitagorasa (§13.4) trzecie boki równe. Ta równość to koń roboczy zadań o okręgach wpisanych w wielokąty: każdy wierzchołek „rozdaje" dwa równe odcinki styczne.

Czworokąt opisany na okręgu (rozszerzenie).

📐 TWIERDZENIE: w czworokąt wypukły $ABCD$ można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy $|AB| + |CD| = |AD| + |BC|$.

W jedną stronę wystarczają odcinki styczne: każdy wierzchołek rozdaje dwa równe odcinki, a obie sumy przeciwległych boków składają się z tych samych czterech odcinków (zadanie 4 niżej). W drugą stronę (nie wprost): weź okrąg styczny do boków $AB$, $BC$ i $CD$ i poprowadź z $A$ drugą styczną do niego; niech przetnie prostą $CD$ w punkcie $D'$. Czworokąt $ABCD'$ jest opisany, więc $|AB| + |CD'| = |AD'| + |BC|$. Odejmij tę równość od założonej: $|CD| - |CD'| = |AD| - |AD'|$, czyli $|DD'| = \big||AD| - |AD'|\big|$. W trójkącie $ADD'$ jeden bok równałby się różnicy dwóch pozostałych, co przeczy nierówności trójkąta (§13.3), chyba że $D' = D$. $\blacksquare$ Stąd każdy romb (także kwadrat) ma okrąg wpisany, a prostokąt niebędący kwadratem nie ma.

💭 Pomyśl: Okrąg wpisany w trójkąt dzieli każdy bok na dwa odcinki styczne. Boki mają długości $7$, $8$, $9$. Na jakie odcinki dzieli je punkt styczności? (Oznacz odcinki przy wierzchołkach $x, y, z$.)

Sprawdź odpowiedź

Przy każdym wierzchołku dwa równe odcinki: $x + y = 7$, $y + z = 8$, $x + z = 9$. Dodaj wszystkie: $2(x+y+z) = 24$, więc $x+y+z = 12$, stąd $z = 5$, $x = 4$, $y = 3$. Boki dzielą się na $4{+}3$, $3{+}5$, $4{+}5$. (Układ trzech równań z §7.2 spotkał geometrię.)

⚠️ Uwaga, pułapka

Prostopadłość stycznej dotyczy promienia do punktu styczności, nie jakiegokolwiek promienia. W zadaniach rysuj ten promień od razu (to niemal zawsze pierwszy dobry ruch), a powstały kąt prosty otwiera Pitagorasa. I odróżniaj słowa: styczna (prosta) od cięciwy (odcinek łączący punkty okręgu); sieczna zawiera cięciwę, styczna nie zawiera żadnej.

📌 Najważniejsze w pigułce

• $d$ vs $r$: rozłączna / styczna / sieczna (0/1/2 punkty wspólne).
• Styczna ⟂ promień w punkcie styczności (i odwrotnie): pierwszy ruch: dorysuj ten promień.
• Odcinki stycznych z jednego punktu: równe (Pitagoras na dwóch trójkątach).
• Okrąg wpisany: każdy wierzchołek rozdaje parę równych odcinków.
• (R) Czworokąt opisany ⇔ sumy przeciwległych boków równe.

🎒 Zadania

1. Punkt $P$ leży $13$ cm od środka okręgu o promieniu $5$ cm. Oblicz długość odcinka stycznej z $P$ do punktu styczności.
2. Prosta jest odległa o $7$ od środka okręgu o promieniu $7$. Ile mają punktów wspólnych? A gdy promień wzrośnie do $9$?
3. Z punktu $P$ poprowadzono dwie styczne do okręgu o środku $S$ i promieniu $6$; punkty styczności to $A$ i $B$, a $|PS| = 10$. Oblicz $|PA|$ i obwód czworokąta $PASB$.
4. (R) Czworokąt jest opisany na okręgu (wszystkie jego boki są styczne do okręgu). Uzasadnij, że sumy przeciwległych boków są równe: $a + c = b + d$.

Rozwiązanie krok po kroku

1. Trójkąt $P$–środek–punkt styczności jest prostokątny (styczna ⟂ promień): $|PT| = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{144} = 12$ cm.

2. $d = r = 7$: styczna, jeden punkt. Przy $r = 9 > 7$: sieczna, dwa punkty.

3. Trójkąt $PAS$ jest prostokątny (styczna ⟂ promień): $|PA| = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$. Odcinki styczne z jednego punktu są równe, więc $|PB| = 8$. Obwód: $8 + 6 + 6 + 8 = 28$.

4. Oznacz odcinki styczne przy kolejnych wierzchołkach $p, q, s, t$ (każdy wierzchołek rozdaje parę równych). Wtedy $a + c = (p+q) + (s+t)$ oraz $b + d = (q+s) + (t+p)$, te same cztery litery, ta sama suma. $\blacksquare$

🔍 Sprawdź, czy umiesz

• rozstrzygnąć położenie prostej względem okręgu porównaniem $d$ z $r$;
• wykorzystać kąt prosty przy styczności i równość odcinków stycznych.

---