Pole figury

🎯 Po co Ci to?

„Ile farby?", „ile trawy?", „ile blachy?" To pytania o pole. Trójkąt ma na nie kilka odpowiedzi: wzór z wysokością, wzór z sinusem, wzór Herona… i to nie jest nadmiar, każdy wzór pasuje do innych danych. Do tego koło: wzór $\pi r^2$ znasz od lat, ale czy wiesz, czym jest $\pi$ i czemu to samo $\pi$ siedzi w obwodzie i w polu? Czas na spotkanie z najsłynniejszą liczbą matematyki.

✅ Czego się nauczysz

• wybierać wzór na pole trójkąta pod dane: $\frac{1}{2}ah$, $\frac{1}{2}ab\sin\gamma$;
• korzystać z własności kątów i przekątnych czworokątów oraz z własności wielokątów foremnych;
• liczyć pola czworokątów przez cięcie na trójkąty;
• rozumieć $\pi$ i liczyć pole koła, wycinka oraz długość łuku.

📘 Wyjaśnienie

Trójkąt: wzór pod dane. Podstawowy: $P = \frac{1}{2} a h_a$ (podstawa razy opuszczona na nią wysokość przez dwa, bo trójkąt to pół równoległoboku). Ale wysokość rzadko dostajesz na tacy. Gdy znasz dwa boki i kąt między nimi, wysokość liczy za Ciebie sinus: $h = b \sin\gamma$ (§12.1: naprzeciw kąta), więc

$$P = \tfrac{1}{2}, a, b \sin \gamma.$$

Przy kącie rozwartym $\gamma$ wysokość pada poza trójkąt i tworzy trójkąt prostokątny z kątem przyległym $180° - \gamma$: wtedy $h = b\sin(180° - \gamma) = b\sin\gamma$ (§12.1), więc wzór działa bez zmian. Ten wzór to najczęstszy wybór maturalny, dwa boki i kąt to typowe dane. (Jest jeszcze wzór Herona (pole z samych trzech boków) wart znajomości „że istnieje"; oraz $P = \frac{abc}{4R}$ i $P = rs$ wiążące pole z okręgami z §13.5: zostawiamy je jako ciekawostki dla głodnych.)

Czworokąty: kąty i przekątne. Zanim policzysz pole, warto znać własności, które zadania zakładają bez przypominania:

czworokąt	kąty	przekątne
równoległobok	przeciwległe równe, sąsiednie sumują się do $180°$	przecinają się w połowie
prostokąt	wszystkie po $90°$	równe, przecinają się w połowie
romb	jak w równoległoboku	prostopadłe, przecinają się w połowie, dzielą kąty rombu na pół
kwadrat	wszystkie po $90°$	równe, prostopadłe, przecinają się w połowie
trapez	kąty przy tym samym ramieniu sumują się do $180°$	w trapezie równoramiennym równe

Nic tu nie trzeba kuć: wszystko wynika z kątów przy równoległych (§13.1). Kąty przy ramieniu trapezu leżą przy dwóch równoległych podstawach przeciętych ramieniem, a kąt przyległy do jednego z nich jest odpowiadający drugiemu, więc razem dają $180°$.

Wielokąty foremne. Przekątne wychodzące z jednego wierzchołka tną wielokąt wypukły o $n$ bokach na $n - 2$ trójkąty, więc suma jego kątów wewnętrznych to $(n-2) \cdot 180°$ (czworokąt $360°$, pięciokąt $540°$). Wielokąt foremny ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty równe, więc każdy jego kąt ma $\frac{(n-2) \cdot 180°}{n}$: $60°$ w trójkącie równobocznym, $90°$ w kwadracie, $108°$ w pięciokącie, $120°$ w sześciokącie. Na każdym wielokącie foremnym da się opisać okrąg i w każdy da się wpisać okrąg; oba mają wspólny środek. Najwdzięczniejszy jest sześciokąt foremny: odcinki od środka do wierzchołków tną go na $6$ trójkątów równobocznych o boku $a$, więc promień okręgu opisanego jest równy $a$. Pole jednego takiego trójkąta daje wzór z sinusem: $\frac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot \sin 60° = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, więc pole sześciokąta wynosi $6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$.

Czworokąty przez cięcie. Równoległobok: $P = ah$. Trapez: $P = \frac{(a+b)h}{2}$; przetnij go przekątną na dwa trójkąty o wspólnej wysokości i dodaj. Romb/deltoid: $P = \frac{d_1 d_2}{2}$ (przekątne prostopadłe; §13 sprawdzian). Morał ogólny: każdy wielokąt tniesz na trójkąty, dlatego trójkąt jest walutą pól.

Koło i liczba $\pi$. Czym jest $\pi$? To stosunek obwodu okręgu do jego średnicy, ten sam dla każdego okręgu (wszystkie okręgi są podobne! skala z §14.3 skraca się w ułamku). Stąd obwód $= \pi d = 2\pi r$. A pole? Potnij koło na wiele wąskich „kawałków tortu" i ułóż je na przemian: powstaje niemal prostokąt o bokach $\pi r$ (pół obwodu) i $r$:

$$P_{\text{koła}} = \pi r^2.$$

To samo $\pi$ w obwodzie i polu, bo pole „zwija się" z obwodu. Liczba $\pi = 3{,}14159\ldots$ jest niewymierna (§2.2, jej rozwinięcie nigdy się nie zapętla), więc wyniki zostawiamy z $\pi$ w środku ($P = 25\pi$), chyba że zadanie prosi o przybliżenie.

Wycinek i łuk: proporcja robi wszystko: kąt środkowy $\alpha$ wycina $\frac{\alpha}{360°}$ pełnego koła: $$P_{\text{wycinka}} = \frac{\alpha}{360°} \cdot \pi r^2, \qquad \ell_{\text{łuku}} = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2\pi r.$$ Kawałek pizzy o kącie $45°$ to $\frac{45}{360} = \frac{1}{8}$ całej; dokładnie tak, jak kroi się w pizzerii.

💭 Pomyśl: Które pole jest większe: kwadratu o obwodzie $40$, czy koła o obwodzie $40$?

Sprawdź odpowiedź

Kwadrat: bok $10$, pole $100$. Koło: $2\pi r = 40 \Rightarrow r = \frac{20}{\pi}$, pole $\pi r^2 = \frac{400}{\pi} \approx 127$. Koło wygrywa, przy danym obwodzie mieści największe pole ze wszystkich figur (dlatego bańki mydlane są okrągłe: natura oszczędza obwód).

⚠️ Uwaga, pułapka

W $P = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$ kąt $\gamma$ musi leżeć między bokami $a$ i $b$: sinus kąta z innego rogu policzy inne pole, czyli błędne. I nie myl wzorów koła: obwód $2\pi r$ (jedno $r$; długość!), pole $\pi r^2$ (kwadrat; powierzchnia!). Kontrola jednostek ratuje: metry vs metry kwadratowe (§2.5: wymiar nie kłamie).

🕰️ Skąd to się wzięło

Na liczbę $\pi$ polowano tysiące lat. Archimedes (III w. p.n.e.) wcisnął okrąg między wielokąty o $96$ bokach i dostał $3\frac{10}{71} < \pi < 3\frac{1}{7}$: metoda tak dobra, że poprawiano ją przez kolejne osiemnaście stuleci głównie… cierpliwością (chiński matematyk Zu Chongzhi w V w. uzyskał $\frac{355}{113}$, dokładne do sześciu cyfr po przecinku). Symbol $\pi$ (od greckiego perimetros: obwód) upowszechnił Euler w XVIII w. Dziś znamy biliony cyfr $\pi$, choć do obliczeń rozmiaru widzialnego Wszechświata z dokładnością do atomu starcza ich około czterdziestu, reszta to czysty sport.

📌 Najważniejsze w pigułce

• Trójkąt: $\frac{1}{2}ah$ (jest wysokość) albo $\frac{1}{2}ab\sin\gamma$ (dwa boki + kąt między nimi).
• Przekątne: w równoległoboku dzielą się na pół, w prostokącie są równe, w rombie prostopadłe; kąty przy ramieniu trapezu dają $180°$.
• Suma kątów $n$-kąta: $(n-2) \cdot 180°$; kąt $n$-kąta foremnego: $\frac{(n-2) \cdot 180°}{n}$; sześciokąt foremny to $6$ trójkątów równobocznych.
• Wielokąty tnij na trójkąty; trapez $\frac{(a+b)h}{2}$, romb $\frac{d_1 d_2}{2}$.
• $\pi$ = obwód/średnica (dla każdego okręgu ten sam); obwód $2\pi r$, pole $\pi r^2$.
• Wycinek/łuk: ułamek $\frac{\alpha}{360°}$ pełnego koła; wyniki zostawiaj z $\pi$.

🎒 Zadania

1. Oblicz pole trójkąta o bokach $8$ i $5$ oraz kącie $30°$ między nimi.
2. Trapez ma podstawy $12$ i $8$ oraz wysokość $5$. Oblicz pole, i sprawdź wynik, tnąc trapez na dwa trójkąty.
3. Z koła o promieniu $6$ wycięto wycinek o kącie $120°$. Oblicz jego pole i długość łuku.
4. Tarcza zegara ma promień $9$ cm. Jakie pole „zamiata" wskazówka minutowa w ciągu $20$ minut?
5. W równoległoboku jeden kąt ma $65°$. Oblicz pozostałe kąty.
6. Oblicz miarę kąta wewnętrznego ośmiokąta foremnego oraz pole sześciokąta foremnego o boku $4$.

Rozwiązanie krok po kroku

1. $P = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \sin 30° = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10$.

2. $P = \frac{(12+8) \cdot 5}{2} = 50$. Cięcie przekątną: trójkąty o podstawach $12$ i $8$, wspólna wysokość $5$: $30 + 20 = 50$ ✓.

3. $\frac{120}{360} = \frac{1}{3}$: pole $= \frac{1}{3} \pi \cdot 36 = 12\pi$; łuk $= \frac{1}{3} \cdot 12\pi = 4\pi$.

4. $20$ minut $= \frac{1}{3}$ obrotu: $P = \frac{1}{3} \pi \cdot 81 = 27\pi \approx 84{,}8$ cm².

5. Przeciwległy też $65°$; sąsiednie po $180° - 65° = 115°$. Kąty: $65°$, $115°$, $65°$, $115°$ (suma $360°$ ✓).

6. Ośmiokąt: $\frac{6 \cdot 180°}{8} = 135°$. Sześciokąt: $\frac{3 \cdot 16 \cdot \sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{3}$.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

• dobrać wzór na pole do danych (i pilnować kąta między bokami);
• korzystać z własności kątów i przekątnych czworokątów oraz obliczać kąty wielokątów foremnych;
• policzyć pole i łuk wycinka proporcją $\frac{\alpha}{360°}$ oraz wyjaśnić, czym jest $\pi$.

---