Punkt, odcinek, środek, odległość

🎯 Po co Ci to?

„Jak daleko?" To najstarsze pytanie geometrii. W układzie współrzędnych odpowiada na nie… twierdzenie Pitagorasa, przebrane za wzór. A „gdzie jest środek?" załatwia zwykłe uśrednianie. Te dwa mikro-narzędzia (odległość i środek) to śruby i nakrętki całej geometrii analitycznej: wszystko dalej będzie z nich skręcone.

✅ Czego się nauczysz

• obliczać odległość dwóch punktów (i widzieć w niej Pitagorasa);
• znajdować środek odcinka;
• rozstrzygać rachunkiem własności figur (równoramienność, prostokątność);
• wyznaczać obrazy punktów i wielokątów w symetrii względem osi układu i względem początku układu.

📘 Wyjaśnienie

Weź punkty $A = (x_1, y_1)$ i $B = (x_2, y_2)$. Przesuwając się z $A$ do $B$, robisz $|x_2 - x_1|$ w poziomie i $|y_2 - y_1|$ w pionie, a te dwa kroki to przyprostokątne trójkąta, którego przeciwprostokątną jest odcinek $AB$. Pitagoras (§13.4) podaje więc:

📐 FAKT (odległość punktów): $;|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}.$

Np. dla $A = (1, 2)$, $B = (7, 10)$: $;|AB| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10$ (trójka $3\text{-}4\text{-}5$ w przebraniu). Zwróć uwagę: kwadraty zjadają znaki, więc kolejność punktów nie gra roli; odległość z $A$ do $B$ i z $B$ do $A$ to ta sama liczba (uff).

Środek odcinka to czyste uśrednienie, w połowie drogi w poziomie i w połowie w pionie:

$$S = \left( \frac{x_1 + x_2}{2},; \frac{y_1 + y_2}{2} \right).$$

Dla $A, B$ jak wyżej: $S = (4, 6)$. (Kontrola w stylu §1.5: $|AS| = \sqrt{9 + 16} = 5 = |SB|$ ✓; środek faktycznie w środku.)

Z tych dwóch narzędzi robi się rachunkowa geometria: trójkąt o wierzchołkach $A(0,0)$, $B(6,0)$, $C(3,5)$ jest równoramienny? Policz: $|AC| = \sqrt{9+25} = \sqrt{34} = |BC|$; tak, bez linijki i bez rysunku (choć szkic zawsze pomaga złapać błędy). A czy trójkąt jest prostokątny, sprawdzisz… twierdzeniem odwrotnym Pitagorasa na trzech policzonych bokach (§13.4). Planimetria i algebra zaczynają grać w jednej drużynie.

Symetrie w układzie współrzędnych. Trzy odbicia działają na współrzędnych jak przełączniki znaku:

• symetria względem osi $Ox$ (poziomej): $(x, y) \to (x, -y)$;
• symetria względem osi $Oy$ (pionowej): $(x, y) \to (-x, y)$;
• symetria środkowa względem początku układu $O = (0, 0)$: $(x, y) \to (-x, -y)$, czyli obie zmiany znaku naraz.

Obraz wielokąta dostajesz, odbijając same wierzchołki i łącząc obrazy w tej samej kolejności. Trójkąt $A(1, 2)$, $B(4, 2)$, $C(4, 5)$ w symetrii względem osi $Ox$ przechodzi na $A'(1, -2)$, $B'(4, -2)$, $C'(4, -5)$. Symetria nie zmienia odległości, więc obraz ma te same boki i te same kąty co oryginał; zmienia się tylko jego położenie. Obrazy okręgów zobaczysz w §15.4.

💭 Pomyśl: Punkt $S = (2, -1)$ jest środkiem odcinka $AB$, gdzie $A = (-3, 4)$. Znajdź $B$.

Sprawdź odpowiedź

Środek to średnia, więc $B$ = „drugi koniec huśtawki": $x_B = 2 \cdot 2 - (-3) = 7$, $y_B = 2 \cdot (-1) - 4 = -6$. $B = (7, -6)$. (Kontrola: średnie z $-3$ i $7$ to $2$ ✓, z $4$ i $-6$ to $-1$ ✓.)

⚠️ Uwaga, pułapka

We wzorze na odległość odejmuje się współrzędne tego samego typu: $x$ od $x$, $y$ od $y$, a nie „pierwszą parę od drugiej na krzyż". I nie zgub kwadratów: $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ to nie $|x_2-x_1| + |y_2-y_1|$ (droga po przekątnej jest krótsza niż po kratkach; dokładnie o tym mówi nierówność trójkąta z §13.3).

📌 Najważniejsze w pigułce

• $|AB| = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$: Pitagoras na kratkach.
• Środek = średnie arytmetyczne współrzędnych.
• Własności figur (równoramienność, prostokątność…) sprawdzasz rachunkiem na bokach.
• Szkic nie jest dowodem, ale łapie błędy: rysuj obok rachunku.
• Symetria względem $Ox$: $(x, -y)$; względem $Oy$: $(-x, y)$; względem początku układu: $(-x, -y)$.

🎒 Zadania

1. Oblicz odległość punktów $(-2, 3)$ i $(4, -5)$ oraz środek łączącego je odcinka.
2. Sprawdź rachunkiem, czy trójkąt $A(1,1)$, $B(5,1)$, $C(5,4)$ jest prostokątny, i oblicz jego obwód.
3. Punkty $(0,0)$, $(6,0)$, $(6,6)$, $(0,6)$ to wierzchołki kwadratu. Oblicz odległość środka boku dolnego od przeciwległego wierzchołka górnego-lewego.
4. Trójkąt $A(-2, 1)$, $B(3, 1)$, $C(0, 4)$ odbij: (a) względem osi $Ox$; (b) względem początku układu. Podaj współrzędne obrazów wierzchołków.

Rozwiązanie krok po kroku

1. $|AB| = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = 10$; środek $\left(1, -1\right)$.

2. $|AB| = 4$, $|BC| = 3$, $|AC| = \sqrt{16+9} = 5$. Sprawdzenie: $4^2 + 3^2 = 5^2$ ✓; prostokątny (kąt prosty przy $B$). Obwód $12$.

3. Środek dolnego boku: $(3, 0)$; wierzchołek $(0, 6)$: $;\sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$.

4. (a) Zmienia się znak drugiej współrzędnej: $A'(-2, -1)$, $B'(3, -1)$, $C'(0, -4)$. (b) Zmieniają się oba znaki: $A'(2, -1)$, $B'(-3, -1)$, $C'(0, -4)$.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

• policzyć odległość i środek bez zaglądania do wzorów;
• rozstrzygnąć własność trójkąta czystym rachunkiem;
• odbić punkt i wielokąt względem osi układu i względem początku układu.

---