Prosta — równanie kierunkowe i ogólne

🎯 Po co Ci to?

Prostą znasz z dwóch stron: geometrycznej (Dział 13) i funkcyjnej ($y = ax + b$, §7.1). Teraz obie się sklejają, z bonusem: nauczysz się obsługiwać proste pionowe (których funkcja liniowa nie umiała opisać!), rozpoznawać położenie dwóch prostych z samych równań i wyznaczać równania z warunków geometrycznych. Prosta stanie się obiektem, którym się liczy.

✅ Czego się nauczysz

  • używać postaci kierunkowej $y = ax + b$ i ogólnej $Ax + By + C = 0$;
  • rozpoznawać równoległość ($a_1 = a_2$) i znajdować punkt wspólny dwóch prostych;
  • wyznaczać równanie prostej przez punkt o zadanym kierunku i przez dwa punkty.
  • (rozszerzenie) rozpoznawać prostopadłość ($a_1 a_2 = -1$) i wyznaczać prostą prostopadłą oraz symetralną odcinka.

📘 Wyjaśnienie

Postać kierunkowa $y = ax + b$ to stara znajoma: $a$ to tempo (nachylenie), $b$ to przecięcie z osią $y$ (§7.1 w komplecie). Ma jednak ślepą plamkę: prosta pionowa (np. wszystkie punkty o $x = 3$) nie jest wykresem żadnej funkcji (test pionowej prostej z §5.2; oblewa go sama!). Ratuje ją postać ogólna:

$$Ax + By + C = 0 \qquad (A, B \text{ nie oba zerowe}).$$

Pionowa $x = 3$ to $1 \cdot x + 0 \cdot y - 3 = 0$. Każdą kierunkową łatwo przepisać na ogólną (przenieś wszystko na lewo), a ogólną z $B \ne 0$ na kierunkową (wylicz $y$). Dwa języki, jedna prosta; wybieraj wygodniejszy.

Równoległość i punkt wspólny. Równoległość znasz z §7.1: ten sam współczynnik $a$ (przy tym samym $b$ to już nie dwie proste, tylko jedna). Proste o różnych współczynnikach $a$ przecinają się w dokładnie jednym punkcie, a jego współrzędne to rozwiązanie układu ich równań (§7.2). Np. proste $y = 2x - 1$ i $x + y = 5$: po wstawieniu $x + 2x - 1 = 5$, więc $x = 2$, $y = 3$; punkt wspólny to $(2, 3)$.

Prostopadłość (rozszerzenie). Drugi warunek to prostopadłość:

📐 FAKT: proste $y = a_1 x + b_1$ i $y = a_2 x + b_2$ są prostopadłe $\iff a_1 \cdot a_2 = -1$ (czyli $a_2 = -\frac{1}{a_1}$).

Skąd minus i odwrotność? Obrót o $90°$ zamienia krok „$1$ w prawo, $a$ w górę" na krok „$a$ w lewo, $1$ w górę", czyli na każdy $1$ w prawo przypada $\frac{1}{a}$ w dół: nachylenie nowej prostej to $-\frac{1}{a}$. Np. prostopadła do $y = 2x + 5$ ma nachylenie $-\frac{1}{2}$. (Przypadek pionowa ⟂ pozioma obsługuje postać ogólna: kierunkowa znów nie daje rady.)

Wyznaczanie równań, dwa warsztaty, oba z §7.1, teraz w wersji „przez punkt":

  • przez punkt $P(x_0, y_0)$ o znanym nachyleniu $a$: $;y = a(x - x_0) + y_0$ (sprawdź: dla $x = x_0$ wychodzi $y_0$ ✓, to przesunięcie z §6.2!);
  • przez dwa punkty: najpierw nachylenie $a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ (przyrost przez przyrost), potem jak wyżej.

Przykład na deser (rozszerzenie): symetralna odcinka $AB$ dla $A(1, 2)$, $B(5, 4)$, czyli prosta prostopadła przez środek (§13.5 wraca w liczbach): środek $S = (3, 3)$; nachylenie $AB$: $\frac{4-2}{5-1} = \frac{1}{2}$; nachylenie symetralnej: $-2$; równanie: $y = -2(x - 3) + 3 = -2x + 9$. Konstrukcja cyrklem zamieniła się w trzy linijki rachunku.

💭 Pomyśl: Czy proste $y = 3x - 7$ i $6x - 2y + 5 = 0$ są równoległe?

Sprawdź odpowiedź

Drugą przepisz na kierunkową: $2y = 6x + 5$, czyli $y = 3x + 2{,}5$. Współczynnik $a$ ten sam ($3$), wyrazy wolne różne: tak, to dwie różne proste równoległe. (Postaci ogólnej nie porównuj „na oko”: najpierw wylicz $y$.)

💭 Pomyśl (rozszerzenie): Nie licząc pełnych równań: czy proste $y = 3x - 7$ i $y = -3x + 2$ są prostopadłe?

Sprawdź odpowiedź

$3 \cdot (-3) = -9 \ne -1$: nie. (Przeciwny znak nachylenia to za mało; potrzeba przeciwnej odwrotności. Prostopadła do $y = 3x$ ma $a = -\frac{1}{3}$.)

⚠️ Uwaga, pułapka

(rozszerzenie) Warunek $a_1 a_2 = -1$ działa tylko dla prostych z nachyleniem: pionowej nim nie obsłużysz (jej prostopadłą jest pozioma, co widać, ale nie z iloczynu).

W zapisie $y = a(x - x_0) + y_0$ znaki „minus" lubią się gubić przy ujemnych współrzędnych punktu, dla $P(-2, 5)$ wychodzi $y = a(x + 2) + 5$. Wstaw punkt z powrotem i sprawdź: trzy sekundy, zero wpadek.

📌 Najważniejsze w pigułce

  • Kierunkowa $y = ax + b$ (bez pionowych); ogólna $Ax + By + C = 0$ (wszystkie proste).
  • Równoległe: $a_1 = a_2$; o różnych $a$ przecinają się w jednym punkcie (rozwiązanie układu).
  • Przez punkt: $y = a(x - x_0) + y_0$; przez dwa punkty: najpierw $a$ z przyrostów.
  • (R) Prostopadłe: $a_1 a_2 = -1$; symetralna = środek (§15.1) + prostopadłość: konstrukcje stają się rachunkiem.

🎒 Zadania

  1. Napisz równanie prostej przechodzącej przez $(2, -1)$, równoległej do $y = 4x + 3$.
  2. Napisz równanie prostej przez punkty $(-1, 5)$ i $(3, -3)$.
  3. Znajdź punkt wspólny prostych $y = -x + 4$ i $3x - y - 8 = 0$.
  4. (R) Wyznacz symetralną odcinka o końcach $(0, 0)$ i $(6, 2)$.
  5. (R) Dla jakiej wartości $m$ proste $y = mx + 1$ i $y = (m - 3)x - 2$ są prostopadłe?
Rozwiązanie krok po kroku

1. Równoległość: $a = 4$: $;y = 4(x - 2) - 1 = 4x - 9$.

2. $a = \frac{-3 - 5}{3 - (-1)} = -2$: $;y = -2(x + 1) + 5 = -2x + 3$. (Kontrola drugim punktem: $-6 + 3 = -3$ ✓.)

3. Z drugiej $y = 3x - 8$; przyrównaj: $-x + 4 = 3x - 8$, więc $x = 3$, $y = 1$. Punkt wspólny $(3, 1)$. (Kontrola w obu równaniach: $-3 + 4 = 1$ ✓, $9 - 1 - 8 = 0$ ✓.)

4. Środek $(3, 1)$; nachylenie odcinka $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$; symetralna: $a = -3$: $;y = -3(x - 3) + 1 = -3x + 10$.

5. $m(m - 3) = -1 \Rightarrow m^2 - 3m + 1 = 0 \Rightarrow m = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$ (delta z §7.5: dwie wartości, oba układy prostopadłe).

🔍 Sprawdź, czy umiesz

  • przejść między postacią kierunkową a ogólną (i wiedzieć, czemu ogólna jest ogólniejsza);
  • wyznaczyć prostą z warunków: punkt + kierunek, dwa punkty, równoległość;
  • znaleźć punkt wspólny dwóch prostych;
  • (rozszerzenie) wyznaczyć prostą prostopadłą i symetralną odcinka.

Ucz się tej jednostki z asystentem