Odległość punktu od prostej; pole wielokąta

🎯 Po co Ci to?

Jak daleko od drogi stoi dom? To pytanie o odległość punktu od prostej, czyli o najkrótszy, prostopadły odcinek. Da się ją liczyć „pieszo" (symetralna… prostopadła… przecięcie… odległość), ale istnieje wzór, który robi wszystko naraz: jeden z najbardziej eleganckich w tym dziale. A z odległością w ręku policzysz wysokości trójkątów, a więc i pola: prosto ze współrzędnych wierzchołków.

✅ Czego się nauczysz

  • liczyć odległość punktu od prostej wzorem (z postaci ogólnej);
  • liczyć pola trójkątów w układzie współrzędnych (dwiema drogami);
  • wybierać krótszą drogę: wzór vs sprytne cięcie.

📘 Wyjaśnienie

[poza podstawą] Wzoru na odległość punktu od prostej nie ma w podstawie programowej, w żadnym zakresie. Warto go znać, bo skraca rachunek, ale zadanie maturalne da się rozwiązać bez niego: przez prostą prostopadłą i punkt przecięcia albo przez pole trójkąta.

📐 FAKT (odległość punktu od prostej): odległość punktu $P(x_0, y_0)$ od prostej $Ax + By + C = 0$ wynosi $$d = \frac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}.$$

Struktura wzoru jest mówiąca: licznik to „wstaw punkt do równania prostej", dla punktów na prostej wychodzi zero (spełniają równanie!), a im dalej od niej, tym większy rozjazd; mianownik $\sqrt{A^2+B^2}$ normalizuje skalę (równania $x + y - 2 = 0$ i $2x + 2y - 4 = 0$ opisują tę samą prostą, po podzieleniu przez mianownik dają tę samą odległość). Moduł, bo odległość nie ma znaku (§2.3).

Przykład: odległość $P(3, 1)$ od prostej $y = 2x + 4$. Najpierw postać ogólna: $2x - y + 4 = 0$. Teraz wzór: $$d = \frac{|2 \cdot 3 - 1 + 4|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{9}{\sqrt{5}} = \frac{9\sqrt{5}}{5}.$$

Pole trójkąta ze współrzędnych. Dwie drogi:

  • Podstawa + wysokość: wybierz bok jako podstawę (długość z §15.1), a wysokość to… odległość trzeciego wierzchołka od prostej zawierającej podstawę (wzór wyżej). Stary wzór $\frac{1}{2}ah$ z §14.4 dostał liczbowy napęd.
  • Sprytne cięcie (na kratkach): obrysuj trójkąt prostokątem o bokach równoległych do osi i odejmij narożne trójkąty prostokątne; szybkie i bezwzorowe, świetne do kontroli.

Przykład: $A(0,0)$, $B(6,2)$, $C(2,5)$. Prostokąt $6 \times 5$ ma pole $30$; trzy narożne trójkąty: $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2 = 6$, $;\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$, $;\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 5 = 5$. Pole $= 30 - 17 = 13$. A wielokąty o większej liczbie wierzchołków? Tniesz przekątnymi na trójkąty (§14.4; trójkąt walutą pól) i sumujesz.

💭 Pomyśl: Prosta $3x + 4y - 12 = 0$ i punkt $(0, 0)$. Odległość, w pamięci?

Sprawdź odpowiedź

$d = \frac{|0 + 0 - 12|}{\sqrt{9+16}} = \frac{12}{5} = 2{,}4$. Początek układu to najwygodniejszy punkt świata: licznik czyta się z samego $C$.

⚠️ Uwaga, pułapka

Wzór wymaga postaci ogólnej: wstawianie punktu do $y = ax + b$ bez przeniesienia na jedną stronę daje bzdury. I pamiętaj o module: ujemny licznik to informacja „punkt po drugiej stronie prostej" (bywa użyteczna!), ale odległość zawsze $\ge 0$. Przy polu z podstawą i wysokością pilnuj, by wysokość mierzyć do prostej zawierającej podstawę, nie do samego odcinka.

📌 Najważniejsze w pigułce

  • $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$: najpierw postać ogólna, potem wzór.
  • Punkt na prostej → licznik $0$; moduł, bo odległość bez znaku.
  • Pole trójkąta: podstawa (§15.1) × wysokość (ten wzór) / 2, albo prostokąt minus narożniki.
  • Wielokąty tnij na trójkąty.

🎒 Zadania

  1. Oblicz odległość punktu $(2, 7)$ od prostej $x - y + 1 = 0$.
  2. Oblicz pole trójkąta $A(1,1)$, $B(7,1)$, $C(4,6)$: najkrótszą możliwą drogą.
  3. Oblicz pole trójkąta $A(0,0)$, $B(4,2)$, $C(1,3)$ metodą prostokąta.
  4. Proste $y = 2x + 1$ i $y = 2x - 9$ są równoległe. Oblicz odległość między nimi. (Wskazówka: weź dowolny punkt jednej i zmierz do drugiej.)
Rozwiązanie krok po kroku

1. $d = \frac{|2 - 7 + 1|}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$.

2. Podstawa $AB$ pozioma ($y = 1$), długość $6$; wysokość = różnica $y$: $6 - 1 = 5$. Pole $= 15$. (Poziomej podstawy nie obrażaj wzorem; odległość widać gołym okiem.)

3. Prostokąt $4 \times 3 = 12$; narożniki: $\frac{1}{2}\cdot4\cdot2 = 4$, $\frac{1}{2}\cdot3\cdot1 = 1{,}5$, $\frac{1}{2}\cdot1\cdot3 = 1{,}5$. Pole $= 12 - 7 = 5$.

4. Punkt $(0, 1)$ z pierwszej; druga w ogólnej: $2x - y - 9 = 0$: $;d = \frac{|0 - 1 - 9|}{\sqrt{5}} = \frac{10}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5}$.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

  • policzyć odległość punktu od prostej (z konwersją do postaci ogólnej);
  • policzyć pole trójkąta ze współrzędnych dwiema metodami i wybrać szybszą.

Ucz się tej jednostki z asystentem