Okrąg jako równanie

🎯 Po co Ci to?

Okrąg to zbiór punktów odległych o $r$ od środka, a odległość umiesz już liczyć (§15.1). Sklej te dwa fakty, a okrąg sam napisze swoje równanie. Od tej chwili jednym wstawieniem sprawdzisz, czy punkt leży na okręgu, wewnątrz czy na zewnątrz, a odbicie okręgu względem osi zmieni tylko znaki w nawiasach.

W rozszerzeniu pytania z Działu 14 („czy prosta przecina okrąg?", „gdzie?") staną się zadaniami z algebry: delta z §7.5 zacznie rozstrzygać o styczności.

✅ Czego się nauczysz

• pisać i czytać równanie okręgu $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$;
• wyznaczać obraz okręgu w symetrii względem osi układu i względem początku układu;
• (rozszerzenie) rozpoznawać okrąg w postaci rozwiniętej (uzupełnianie do kwadratu!);
• (rozszerzenie) badać wzajemne położenie prostej i okręgu (podstawienie + delta albo $d$ vs $r$).

📘 Wyjaśnienie

Punkt $(x, y)$ leży na okręgu o środku $S = (a, b)$ i promieniu $r$ dokładnie wtedy, gdy jego odległość od $S$ wynosi $r$. Wstaw wzór z §15.1 i podnieś do kwadratu:

📐 FAKT (równanie okręgu): $$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2.$$

Czytanie jest natychmiastowe: $(x-3)^2 + (y-2)^2 = 4$ to środek $(3, 2)$ i promień $\sqrt{4} = 2$ (uwaga: po prawej stoi $r^{2}$!). Znaki w nawiasach działają jak w §6.2; $(x-3)$ znaczy „środek przesunięty w prawo na $3$"; to dokładnie ta sama gramatyka przesunięć.

Postać rozwinięta (rozszerzenie). Po wymnożeniu równanie okręgu wygląda tak: $x^2 + y^2 - 6x - 4y + 9 = 0$. Jak z tego odzyskać środek i promień? Uzupełnianiem do kwadratu (§7.3 pracuje poza parabolami!): $$x^2 - 6x = (x-3)^2 - 9, \qquad y^2 - 4y = (y-2)^2 - 4,$$ więc równanie staje się $(x-3)^2 + (y-2)^2 = 4$; nasz okrąg z ryciny. Gdyby po prawej wyszło zero (jeden punkt) albo liczba ujemna (nic), równanie nie opisuje okręgu; algebra uczciwie o tym melduje.

Obraz okręgu w symetrii. Symetria nie zmienia odległości, więc obraz okręgu to okrąg o tym samym promieniu; wystarczy odbić środek (§15.1). Okrąg $(x-3)^2 + (y-2)^2 = 4$ w symetrii względem osi $Oy$ ma środek $(-3, 2)$, więc równanie $(x+3)^2 + (y-2)^2 = 4$; w symetrii względem początku układu środek $(-3, -2)$ i równanie $(x+3)^2 + (y+2)^2 = 4$.

Prosta i okrąg (rozszerzenie), trzy scenariusze z §14.2 (rozłączna/styczna/sieczna), dwie metody rachunkowe:

• Geometryczna: policz odległość środka od prostej (§15.3) i porównaj z $r$. Trzy przypadki $d > r$, $d = r$, $d < r$; dosłownie definicje z §14.2.
• Algebraiczna: podstaw prostą do okręgu i patrz na deltę równania kwadratowego: $\Delta < 0$: rozłączne, $\Delta = 0$: styczna, $\Delta > 0$: sieczna, a rozwiązania to od razu punkty przecięcia.

Przykład: prosta $y = x$ i okrąg $(x-3)^2 + (y-2)^2 = 4$. Podstawienie: $(x-3)^2 + (x-2)^2 = 4$, czyli $2x^2 - 10x + 9 = 0$, $\Delta = 100 - 72 = 28 > 0$; sieczna, dwa punkty wspólne (ich współrzędne dają pierwiastki). Geometria bez jednej kreski.

Styczna w danym punkcie okręgu jest prostopadła do promienia poprowadzonego do tego punktu (§14.2), więc jej nachylenie to przeciwna odwrotność nachylenia promienia (§15.2). Okrąg $x^2 + y^2 = 25$ i jego punkt $P(3, 4)$: promień $OP$ ma nachylenie $\frac{4}{3}$, styczna $-\frac{3}{4}$, więc $y = -\frac{3}{4}(x - 3) + 4$, czyli $3x + 4y = 25$.

💭 Pomyśl: Czy punkt $(4, 4)$ leży na okręgu z ryciny, wewnątrz niego, czy na zewnątrz?

Sprawdź odpowiedź

Wstaw: $(4-3)^2 + (4-2)^2 = 1 + 4 = 5 > 4$; na zewnątrz (odległość od środka $\sqrt{5} > 2 = r$). Równanie okręgu to tester położenia: $=$ na okręgu, $<$ wewnątrz, $>$ na zewnątrz.

⚠️ Uwaga, pułapka

Po prawej stronie równania stoi $r^2$, nie $r$: okrąg $(x-1)^2 + y^2 = 25$ ma promień $5$ (pomyłka „$r = 25$" to klasyk). Znaki środka czytaj „na odwrót" jak w §6.2: $(x+2)^2$ znaczy $a = -2$.

(rozszerzenie) Przy uzupełnianiu kwadratu nie zgub wyrazów przeniesionych na prawo; bilans musi się zgadzać co do sztuki (kontrola: po wstawieniu środka do postaci rozwiniętej lewa strona powinna dać $-r^2$).

📌 Najważniejsze w pigułce

• $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$: środek $(a,b)$ (znaki na odwrót), promień to pierwiastek z prawej strony.
• Tester położenia punktu: porównaj lewą stronę z $r^2$.
• Obraz okręgu w symetrii: ten sam promień, odbity środek.
• (R) Postać rozwinięta → uzupełnianie do kwadratu (dla $x$ i $y$ osobno).
• (R) Prosta vs okrąg: $d$ vs $r$ (geometrycznie) albo podstawienie + $\Delta$ (algebraicznie, z punktami gratis).

🎒 Zadania

1. Podaj środek i promień: (a) $(x+5)^2 + (y-1)^2 = 49$; (b) $x^2 + y^2 = 10$.
2. Napisz równanie okręgu o środku $(2, -3)$ przechodzącego przez punkt $(5, 1)$.
3. Okrąg $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 9$ odbito symetrycznie względem osi $Ox$. Napisz równanie obrazu.
4. (R) Sprowadź do postaci środkowej: $x^2 + y^2 + 4x - 8y + 11 = 0$.
5. (R) Zbadaj położenie prostej $y = 2$ względem okręgu $(x-1)^2 + (y-4)^2 = 4$.

Rozwiązanie krok po kroku

1. (a) środek $(-5, 1)$, $r = 7$. (b) środek $(0,0)$, $r = \sqrt{10}$.

2. Promień = odległość środka od punktu: $r = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$: $;(x-2)^2 + (y+3)^2 = 25$.

3. Środek $(2, -1)$ przechodzi na $(2, 1)$, promień zostaje $3$: $;(x-2)^2 + (y-1)^2 = 9$.

4. $x^2+4x = (x+2)^2 - 4$; $;y^2 - 8y = (y-4)^2 - 16$: $;(x+2)^2 + (y-4)^2 = 9$; środek $(-2, 4)$, $r = 3$.

5. Odległość środka $(1,4)$ od poziomej $y = 2$: $;|4 - 2| = 2 = r$; prosta styczna (dotyka w punkcie $(1, 2)$, pionowo pod środkiem).

🔍 Sprawdź, czy umiesz

• napisać równanie okręgu ze środka i promienia (albo punktu na okręgu) i odczytać środek oraz promień z równania;
• wyznaczyć obraz okręgu w symetrii względem osi i początku układu;
• (rozszerzenie) przejść między postacią środkową a rozwiniętą (uzupełnianie kwadratu w obie strony);
• (rozszerzenie) rozstrzygnąć położenie prostej i okręgu dwiema metodami.

---