Parabola, przecięcia, jednokładność

🎯 Po co Ci to?

Wesele algebry z geometrią ma swój finał: każde przecięcie krzywych to układ równań, a delta zlicza punkty wspólne, zanim je zobaczysz. Do tego jednokładność (przekształcenie, które „nadmuchuje" figury z wybranego środka) spina współrzędne z podobieństwem z §14.3. To ostatni szlif analitycznego warsztatu przed przestrzenią trójwymiarową.

✅ Czego się nauczysz

  • znajdować punkty wspólne prostej i paraboli oraz dwóch okręgów;
  • używać delty jako licznika przecięć (styczność = podwójny pierwiastek);
  • [poza podstawą] stosować jednokładność o środku $S$ i skali $k$ we współrzędnych.

📘 Wyjaśnienie

Przecięcia = układy. Zasada jest jedna i uniwersalna: punkty wspólne dwóch krzywych to rozwiązania układu ich równań. Prosta i parabola: podstaw $y$ z prostej do paraboli; zostaje równanie kwadratowe, a jego $\Delta$ (§7.5) zlicza punkty wspólne: $\Delta > 0$: dwa przecięcia, $\Delta = 0$: styczność (prosta muska parabolę; podwójny pierwiastek to algebraiczny ślad jednego punktu dotyku), $\Delta < 0$: rozminięcie.

Przykład-klasyk: dla jakich $m$ prosta $y = x + m$ jest styczna do paraboli $y = x^2 - 3x + 5$? Podstawienie: $x^2 - 3x + 5 = x + m$, czyli $x^2 - 4x + (5 - m) = 0$. Styczność $\iff \Delta = 0$: $;16 - 4(5-m) = 0 \Rightarrow m = 1$. Cała rodzina prostych przefiltrowana jednym warunkiem, to jest siła parametru z §7.6 w geometrii.

Dwa okręgi przecinasz podobnie (odejmij równania stronami: kwadraty się skrócą i zostanie prosta przechodząca przez punkty wspólne), a liczbę punktów wspólnych możesz też przewidzieć geometrycznie: porównaj odległość środków z sumą i różnicą promieni (styczne zewnętrznie: $|S_1S_2| = r_1 + r_2$; wewnętrznie: $= |r_1 - r_2|$).

[poza podstawą] Jednokładności nie ma w wymaganiach podstawy programowej w żadnym zakresie. Punkty wspólne prostej z parabolą i dwóch okręgów, omówione wyżej, należą do rozszerzenia.

Jednokładność. Podobieństwo z §14.3 mówiło „ten sam kształt, inna skala": jednokładność mówi jak przeskalować:

📐 DEFINICJA (jednokładność o środku $S$ i skali $k \ne 0$): każdemu punktowi $P$ przypisuje punkt $P'$ taki, że $\vec{SP'} = k \cdot \vec{SP}$ (wektor od środka rozciągnięty $k$ razy; dla $k < 0$, na drugą stronę).

We współrzędnych (środek $S=(s_1, s_2)$): $;P' = (s_1 + k(x - s_1),; s_2 + k(y - s_2))$; odejmij środek, przemnóż, dodaj z powrotem (wektory z §6.1 w akcji). Jednokładność zachowuje kąty i kierunki, a wszystkie długości mnoży przez $|k|$; obraz jest podobny do oryginału w skali $|k|$ (pola: $k^2$, §14.3). To matematyka projektora ($S$ to lampa, $k$ zależy od odległości ekranu) i matematyka zoomu w telefonie.

💭 Pomyśl: Jednokładność o środku $(0,0)$ i skali $k = -2$ przekształca punkt $(3, -1)$. Gdzie ląduje?

Sprawdź odpowiedź

$(-6, 2)$, dwa razy dalej od środka i po przeciwnej stronie (ujemna skala obraca o $180°$; poznajesz $-f(-x)$ z §6.3? to ta sama symetria środkowa, tylko ze skalą).

⚠️ Uwaga, pułapka

Delta zlicza przecięcia po podstawieniu: pilnuj, by podstawiać do końca (jedno równanie, jedna niewiadoma), a otrzymane $x$ wracaj do prostszego równania po $y$ (jak przy podstawieniu $t = x^2$ w §8.4: wycieczka wymaga powrotu). Przy jednokładności zaś nie myl środka jednokładności ze środkiem figury: jednokładność o $k = 2$ względem punktu poza figurą nie tylko ją powiększa, ale i przesuwa; obraz ucieka od środka.

📌 Najważniejsze w pigułce

  • Punkty wspólne krzywych = rozwiązania układu; podstawienie → kwadratowe → $\Delta$ zlicza.
  • Styczność do paraboli/okręgu: $\Delta = 0$ (podwójny pierwiastek = punkt dotyku).
  • Dwa okręgi: odejmowanie równań daje prostą przecięć; test odległości środków vs $r_1 \pm r_2$.
  • [poza podstawą] Jednokładność: $P' = S + k(P - S)$; kąty bez zmian, długości $\times |k|$, pola $\times k^2$; $k<0$: druga strona.

🎒 Zadania

  1. Znajdź punkty wspólne prostej $y = 2x - 1$ i paraboli $y = x^2 - 2x + 3$.
  2. Dla jakich $m$ prosta $y = mx$ ma dokładnie jeden punkt wspólny z parabolą $y = x^2 + 4$?
  3. [poza podstawą] Jednokładność o środku $S = (1, 1)$ i skali $k = 3$ przekształca trójkąt $A(2,1)$, $B(1,3)$, $C(0,1)$. Podaj obrazy wierzchołków i stosunek pól.
Rozwiązanie krok po kroku

1. $x^2 - 2x + 3 = 2x - 1 \Rightarrow x^2 - 4x + 4 = 0 \Rightarrow (x-2)^2 = 0$: podwójny pierwiastek $x = 2$, punkt $(2, 3)$; prosta jest styczna (jedno przecięcie „podwójnej wagi").

2. $x^2 + 4 = mx \Rightarrow x^2 - mx + 4 = 0$, $;\Delta = m^2 - 16 = 0 \Rightarrow m = \pm 4$: dwie styczne z pęku prostych przez początek.

3. $P' = S + 3(P - S)$: $;A' = (4, 1)$, $B' = (1, 7)$, $C' = (-2, 1)$. Pola: $k^2 = 9$ (obraz dziewięć razy większy).

🔍 Sprawdź, czy umiesz

  • policzyć przecięcia krzywych układem i odczytać styczność z $\Delta = 0$;
  • [poza podstawą] wykonać jednokładność we współrzędnych i przewidzieć skalę pól.

Ucz się tej jednostki z asystentem