Bryły obrotowe

🎯 Po co Ci to?

Zakręć monetą: zobaczysz kulę. Obróć prostokątną kartkę wokół brzegu: zakreśli walec; trójkątna chorągiewka zakreśli stożek. Bryły obrotowe powstają z wirowania płaskiej figury, dlatego rządzi nimi $\pi$ i dlatego są wszędzie tam, gdzie coś się kręci lub ma się równo rozlewać: puszki, lejki, rury, planety. Do kompletu poznasz najsłynniejszy wynik Archimedesa, ten, który kazał wyryć sobie na nagrobku.

✅ Czego się nauczysz

• opisywać walec, stożek i kulę przez figurę obracaną i oś obrotu;
• liczyć pola powierzchni i objętości wszystkich trzech;
• rozumieć skalowanie: promień $\times k$ ⇒ objętość $\times k^3$.

📘 Wyjaśnienie

Walec (obrót prostokąta): dwie podstawy-koła o promieniu $r$ i „ściana" boczna, która po rozwinięciu jest… prostokątem o bokach $2\pi r$ (obwód!) i $H$; obejrzyj etykietę puszki. Stąd wszystko:

$$V = \pi r^2 H, \qquad P_c = 2\pi r^2 + 2\pi r H.$$

(Objętość to znów $P_p \cdot H$: walec jest „okrągłym graniastosłupem".)

Stożek (obrót trójkąta prostokątnego wokół przyprostokątnej): podstawa-koło, wierzchołek nad środkiem, i tworząca $l$, czyli odcinek z wierzchołka do brzegu podstawy ($l^2 = r^2 + H^2$; Pitagoras dyżurny). Powierzchnia boczna rozwija się w wycinek koła o promieniu $l$ i łuku $2\pi r$ (§14.4 wraca): $P_b = \pi r l$. A objętość: jedna trzecia, jak w ostrosłupie (stożek to „okrągły ostrosłup"):

$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 H, \qquad P_c = \pi r^2 + \pi r l.$$

Kula (obrót koła wokół średnicy): wszystkie punkty w odległości $\le R$ od środka. Jej wzory nie mają już elementarnego „złóż z plastrów", więc podajemy je z należnym szacunkiem:

$$V = \frac{4}{3}\pi R^3, \qquad P = 4\pi R^2.$$

Dwie rzeczy warto w nich zobaczyć. Po pierwsze: pole sfery to dokładnie cztery pola jej „równika"; zaskakująco czysty stosunek. Po drugie, wynik Archimedesa: kula wpisana w walec (dotyka podstaw i boku, czyli $H = 2R$) zajmuje dokładnie $\frac{2}{3}$ jego objętości; sprawdź: $\frac{4}{3}\pi R^3$ vs $\pi R^2 \cdot 2R = 2\pi R^3$ ✓. I pola powierzchni też są w stosunku $2:3$ (policz!). Ta harmonia zachwyciła samego odkrywcę.

Trzecia potęga skali. Podobieństwo w 3D skaluje objętości przez $k^3$ (długości $k$, pola $k^2$: §14.3 dostaje trzecie piętro): pomarańcza o dwukrotnie większej średnicy to osiem razy więcej miąższu, choć na oko „dwa razy większa". Dlatego duża pizza i duże wiadro popcornu to zwykle najlepszy stosunek ceny do zawartości, i dlatego olbrzymy z bajek nie mogłyby chodzić (masa rośnie jak $k^3$, przekrój kości jak $k^2$; §2.5 o granicach modeli kłania się biologii).

💭 Pomyśl: Kula lodów o promieniu $3$ cm topi się do rożka-stożka o promieniu $3$ cm. Jaka wysokość rożka pomieści dokładnie całe lody?

Sprawdź odpowiedź

$\frac{4}{3}\pi \cdot 27 = \frac{1}{3}\pi \cdot 9 \cdot H \Rightarrow 36\pi = 3\pi H \Rightarrow H = 12$ cm. Cztery promienie: rożek musi być zaskakująco głęboki (objętość kuli to nie „trochę więcej niż gałka na oko").

⚠️ Uwaga, pułapka

Nie myl tworzącej $l$ z wysokością $H$ stożka: tworząca biegnie po powierzchni (ukośnie), wysokość pionowo w środku; łączy je Pitagoras. W polu bocznym stożka stoi $l$, w objętości $H$: wstawienie nie tej litery to połowa błędów z brył obrotowych. I jednostki: objętości w cm³/litrach, pola w cm²; mieszanie mści się natychmiast (§2.5).

🕰️ Skąd to się wzięło

Wzory na kulę znalazł Archimedes (III w. p.n.e.) metodą, którą dziś nazwalibyśmy przeczuciem całki: ważył w myślach plasterki brył na dźwigni. Odkrycie stosunku $2:3$ między kulą a opisanym walcem uważał za swoje największe; poprosił, by na jego nagrobku wyryto właśnie walec z wpisaną kulą. Rzymski mówca Cyceron opisał po latach, jak odnalazł w Syrakuzach zarośnięty grób uczonego; rozpoznał go po tym właśnie rysunku. Grób znów zaginął, ale stosunek $2:3$ trwa; twierdzenia okazują się trwalsze od kamienia.

📌 Najważniejsze w pigułce

• Walec: $V = \pi r^2 H$; bok rozwija się w prostokąt $2\pi r \times H$.
• Stożek: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 H$; $P_b = \pi r l$; $;l^2 = r^2 + H^2$ ($l$ w polu, $H$ w objętości!).
• Kula: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$, $;P = 4\pi R^2$; kula = $\frac{2}{3}$ opisanego walca (Archimedes).
• Skala $k$: długości $k$, pola $k^2$, objętości $k^3$ (pomarańcza ×2 = miąższ ×8).

🎒 Zadania

1. Puszka (walec): $r = 4$ cm, $H = 12$ cm. Oblicz objętość i pole całkowitej powierzchni (blachy).
2. Stożek ma $r = 5$ i $H = 12$. Oblicz tworzącą i pole powierzchni bocznej.
3. Ile kul o promieniu $1$ zmieści się objętościowo w kuli o promieniu $4$? (Rachunek objętości, nie pakowania!)
4. Przekrój osiowy walca (przetnij pionowo przez oś) jest kwadratem o boku $10$. Oblicz objętość walca.

Rozwiązanie krok po kroku

1. $V = \pi \cdot 16 \cdot 12 = 192\pi \approx 603$ cm³; $;P_c = 2\pi \cdot 16 + 2\pi \cdot 4 \cdot 12 = 32\pi + 96\pi = 128\pi \approx 402$ cm².

2. $l = \sqrt{25 + 144} = 13$; $;P_b = \pi \cdot 5 \cdot 13 = 65\pi$.

3. $\frac{\frac{4}{3}\pi \cdot 64}{\frac{4}{3}\pi \cdot 1} = 64$: trzecia potęga skali ($4^3$), nie $4$ i nie $16$.

4. Kwadrat $10 \times 10$: średnica $2r = 10$ i $H = 10$, więc $r = 5$: $;V = \pi \cdot 25 \cdot 10 = 250\pi$.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

• policzyć $V$ i pola wszystkich trzech brył (z rozróżnieniem $l$ i $H$);
• użyć trzeciej potęgi skali zamiast liczenia od zera.

---