Przekroje i bryły wpisane/opisane
🎯 Po co Ci to?
Przetnij bagietkę prosto: kółko; ukośnie: elipsa. Przetnij sześcian „po przekątnej": może wyjść… sześciokąt! Przekroje to test prawdziwej wyobraźni przestrzennej: co naprawdę powstaje, gdy płaszczyzna tnie bryłę. A bryły wpisane i opisane (kula w stożku, walec w kuli…) to szczyt stereometrycznego rzemiosła: zadania, w których wygrywa ten, kto potrafi cały trójwymiarowy problem spłaszczyć do jednego przekroju.
✅ Czego się nauczysz
- wyznaczać przekroje brył płaszczyzną (w tym przekroje sześcianu);
- rozwiązywać zadania o bryłach wpisanych/opisanych przez przekrój osiowy;
- używać podobieństwa trójkątów w przekrojach stożka.
📘 Wyjaśnienie
Przekrój to część wspólna bryły i płaszczyzny: zawsze figura płaska. Dwie zasady konstruowania: płaszczyzna przecina każdą ścianę wzdłuż odcinka (dwie płaszczyzny tną się wzdłuż prostej; §16.1), a na ścianach równoległych ślady przekroju są równoległe. Stąd np. przekrój sześcianu może być trójkątem (ścinasz narożnik), czworokątem, pięciokątem, a nawet foremnym sześciokątem: płaszczyzną prostopadłą do głównej przekątnej przez środek sześcianu, tnącą wszystkie sześć ścian. Siedmiokąta nie będzie nigdy: ścian jest tylko sześć.
Najpracowitszy przekrój to osiowy (przez oś bryły obrotowej): walec daje prostokąt $2r \times H$, stożek trójkąt równoramienny o podstawie $2r$ i ramionach $l$, kula koło wielkie o promieniu $R$. W nim mieszkają kąty rozwarcia stożka i wszystkie konfiguracje „coś w czymś":
Metoda na bryły wpisane/opisane, trzy kroki: (1) narysuj przekrój osiowy całej konfiguracji (3D → 2D!), (2) rozpoznaj planimetrię (okrąg wpisany w trójkąt? §13.5; prostokąt w okręgu? Pitagoras), (3) licz jak na płaszczyźnie. Przykłady kanoniczne:
- Kula wpisana w stożek → okrąg wpisany w trójkąt równoramienny (promień z pola i połowy obwodu: $r = \frac{P}{s}$, wspomniane w §14.4, teraz się przydaje).
- Walec wpisany w kulę → prostokąt wpisany w okrąg: $(2r)^2 + H^2 = (2R)^2$; Pitagoras na przekątnej.
- Kula opisana na sześcianie o krawędzi $a$: średnica $=$ przekątna sześcianu $a\sqrt{3}$ (a kula wpisana w sześcian ma średnicę $a$; dwie różne kule, nie pomyl!).
Podobieństwo w stożku. Przetnij stożek płaszczyzną równoległą do podstawy na wysokości $h$ od wierzchołka: mały stożek u góry jest podobny do całego (Tales w pionie; §13.2/§14.3), ze skalą $k = \frac{h}{H}$. Promień przekroju: $kr$; pole przekroju: $k^2 \pi r^2$; objętość małego stożka: $k^3 V$. Cała drabina skal ($k, k^2, k^3$) na jednym rysunku.
💭 Pomyśl: Stożek przecięto równolegle do podstawy w połowie wysokości. Jaka część objętości stożka jest nad cięciem?
Sprawdź odpowiedź
Mały stożek ma skalę $k = \frac{1}{2}$, więc objętość $\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$ całości. Nad cięciem jest $\frac{1}{8}$, pod: aż $\frac{7}{8}$. (Intuicja krzyczy „połowa!", trzecia potęga mówi swoje.)
⚠️ Uwaga, pułapka
W zadaniach „kula w bryle" zawsze upewnij się, czego dotyka kula: kula wpisana w stożek dotyka podstawy i powierzchni bocznej (na przekroju: okrąg styczny do wszystkich trzech boków trójkąta; §14.2 styczność!), a kula wpisana w walec dotyka podstaw i boku ($H = 2R$). Zły rysunek przekroju = złe równania; dobry przekrój to 80% rozwiązania. Rysuj duże, podpisuj wszystko.
📌 Najważniejsze w pigułce
- Przekrój = figura płaska; ślady na ścianach równoległych są równoległe; sześcian tnie się aż do sześciokąta.
- Metoda 3D→2D: przekrój osiowy → planimetria (§13–15) → rachunek.
- Kanon: kula w stożku (okrąg w trójkącie), walec w kuli (prostokąt w okręgu, Pitagoras), kule sześcianu ($a$ vs $a\sqrt{3}$).
- Cięcie równoległe stożka: skala $k = \frac{h}{H}$; pola $k^2$, objętości $k^3$.
🎒 Zadania
- Jaki przekrój sześcianu o krawędzi $a$ powstaje przy cięciu płaszczyzną przez dwie równoległe przekątne przeciwległych ścian? Oblicz jego pole.
- W kulę o promieniu $R = 5$ wpisano walec o wysokości $6$. Oblicz promień walca i jego objętość.
- Stożek o promieniu $6$ i wysokości $8$ przecięto równolegle do podstawy tak, że pole przekroju wynosi $9\pi$. Na jakiej wysokości (od wierzchołka) cięto?
Rozwiązanie krok po kroku
1. Prostokąt: dwie przekątne ścian (długość $a\sqrt{2}$) połączone krawędziami sześcianu (długość $a$). Pole $= a \cdot a\sqrt{2} = a^2\sqrt{2}$.
2. Przekrój osiowy: prostokąt w okręgu: $(2r)^2 + 36 = 100 \Rightarrow 4r^2 = 64 \Rightarrow r = 4$. $;V = \pi \cdot 16 \cdot 6 = 96\pi$.
3. Przekrój o polu $9\pi$ ma promień $3 = \frac{1}{2} \cdot 6$, więc skala $k = \frac{1}{2}$: cięcie na wysokości $\frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ od wierzchołka.
🔍 Sprawdź, czy umiesz
- skonstruować przekrój (ze śladami na ścianach) i rozpoznać jego kształt;
- spłaszczyć zadanie „bryła w bryle" do przekroju osiowego i dokończyć planimetrią.