Reguła mnożenia i dodawania

🎯 Po co Ci to?

Trzy pary spodni, cztery koszulki: ile zestawów? Nie $3 + 4 = 7$, lecz $3 \cdot 4 = 12$: każde spodnie łączą się z każdą koszulką. Ta drobna obserwacja to fundament całej kombinatoryki: reguła mnożenia. Wszystkie wzory tego działu będą tylko jej sprytnymi skrótami.

✅ Czego się nauczysz

  • stosować regułę mnożenia (kolejne decyzje) i dodawania (rozłączne przypadki);
  • rozstrzygać, kiedy mnożyć, a kiedy dodawać;
  • liczyć możliwości z ograniczeniami („bez powtórzeń", „nie zaczyna się od zera");
  • liczyć „co najmniej jeden" przez dopełnienie.

📘 Wyjaśnienie

📐 REGUŁA MNOŻENIA: jeśli pewien wybór składa się z kolejnych etapów: pierwszy można wykonać na $n_1$ sposobów, drugi (niezależnie od pierwszego) na $n_2$ itd., to łącznie jest $n_1 \cdot n_2 \cdot \ldots$ możliwości.

PIN: cztery etapy (cztery cyfry), każdy na $10$ sposobów: $10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^4 = 10,000$. Tablica rejestracyjna „dwie litery + pięć cyfr" (24 litery w puli): $24^2 \cdot 10^5 = 57,600,000$. Zauważ mechanizm: decyzja po decyzji, a liczby możliwości się wymnażają, jak gałęzie rozwidlającego się drzewa (narysujesz je).

wybórS1K1K2S2K1K2S3K1K23 pary spodni× 2 koszulki= 6zestawówkażdy wybór z każdym:liczby możliwości się mnożą
Drzewko wyborów: trzy pary spodni, z każdej dwie gałęzie koszulek, razem sześć liści; reguła mnożenia 3 razy 2 równa się 6. · rys. własny

Kluczowy niuans: „na $n_2$ sposobów niezależnie od pierwszego" nie znaczy, że opcje drugiego etapu są te same; znaczy, że ich liczba jest ta sama. PIN bez powtórzonych cyfr: pierwsza cyfra: $10$ opcji, druga już tylko $9$ (jedna zużyta), potem $8$ i $7$: $;10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 5040$. Które konkretnie cyfry zostały, zależy od wyborów; ile ich zostało, już nie.

📐 REGUŁA DODAWANIA: jeśli możliwości dzielą się na rozłączne przypadki (żadna nie należy do dwóch naraz), to łączna liczba jest sumą liczb w przypadkach.

Kiedy które? Test spójnika: „i potem" (etapy jednej konstrukcji) → mnożysz; „albo" (osobne scenariusze) → dodajesz. Przykład łączony: kod to cyfra i litera albo litera i dwie cyfry (litery z puli 24): $10 \cdot 24 + 24 \cdot 10^2 = 240 + 2400 = 2640$.

Ograniczenia obsługuj najciaśniejszym etapem najpierw: liczby trzycyfrowe o różnych cyfrach: pierwsza cyfra nie może być zerem ($9$ opcji), druga dowolna poza użytą ($9$), trzecia ($8$): $9 \cdot 9 \cdot 8 = 648$. Zaczynając od „swobodnych" etapów, łatwo się zaplątać.

Dopełnienie: licz na odwrót. Gdy pytanie brzmi „ile jest możliwości z co najmniej jedną …", bezpośrednie liczenie rozpada się na wiele przypadków (jedna, dwie, trzy…). Szybciej policzyć wszystkie możliwości i odjąć te, w których warunek nie zachodzi wcale: $$\text{co najmniej jeden} = \text{wszystkie} - \text{żaden}.$$ PIN-ów z co najmniej jedną siódemką: wszystkich jest $10^4 = 10,000$, bez siódemki $9^4 = 6561$, więc szukanych $10,000 - 6561 = 3439$.

💭 Pomyśl: Test ma $8$ pytań, każde z odpowiedziami A/B/C/D. Na ile sposobów można wypełnić cały test? (Zanim policzysz, zgadnij rząd wielkości.)

Sprawdź odpowiedź

$4^8 = 65,536$. Osiem niewinnych pytań: sześćdziesiąt pięć tysięcy ścieżek; wykładniczy wzrost z §10.1 tu jest mechanizmem, nie metaforą. (Dlatego „strzelanie" tak rzadko daje komplet punktów.)

⚠️ Uwaga, pułapka

Reguła dodawania wymaga przypadków rozłącznych: jeśli scenariusze się nakładają, suma liczy część możliwości dwa razy. Licząc np. kody „zaczynające się literą albo kończące cyfrą", nie wolno po prostu dodać obu grup: kody spełniające oba warunki weszłyby podwójnie (poprawka: odjąć część wspólną; to zasada włączeń i wyłączeń). Gdy „albo" nie jest rozłączne, zapala się lampka.

📌 Najważniejsze w pigułce

  • Etapy jednej konstrukcji → mnożysz; rozłączne scenariusze → dodajesz.
  • „Niezależnie" = ta sama liczba opcji, niekoniecznie te same opcje (bez powtórzeń: $10 \cdot 9 \cdot 8 \cdots$).
  • Ograniczenia: najciaśniejszy etap pierwszy (np. „nie zaczyna się od zera").
  • Nakładające się „albo" → uwaga na podwójne liczenie (włączenia-wyłączenia).
  • „Co najmniej jeden" = wszystkie − żaden (dopełnienie).

🎒 Zadania

  1. Menu: $4$ zupy, $6$ dań głównych, $3$ desery. Ile pełnych zestawów obiadowych?
  2. Ile jest liczb czterocyfrowych o wszystkich cyfrach różnych?
  3. Hasło: dokładnie $3$ znaki, każdy to mała litera ($26$) lub cyfra ($10$). Ile haseł? A ile, jeśli hasło musi zaczynać się literą?
  4. Z miasta A do B prowadzą $3$ drogi, z B do C: $4$, a ponadto $2$ drogi wiodą z A do C bezpośrednio. Ile jest tras z A do C?
  5. Ile jest liczb trzycyfrowych, w których zapisie występuje co najmniej jedna cyfra $5$?
Rozwiązanie krok po kroku

1. $4 \cdot 6 \cdot 3 = 72$.

2. $9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 4536$ (pierwsza bez zera, potem pula maleje).

3. $36^3 = 46,656$. Z literą na starcie: $26 \cdot 36^2 = 33,696$.

4. Przez B albo bezpośrednio: $3 \cdot 4 + 2 = 14$ (mnożenie wewnątrz scenariusza, dodawanie między scenariuszami).

5. Wszystkich trzycyfrowych: $9 \cdot 10 \cdot 10 = 900$. Bez piątki: pierwsza cyfra $8$ opcji (bez $0$ i $5$), dwie następne po $9$: $8 \cdot 9 \cdot 9 = 648$. Z co najmniej jedną piątką: $900 - 648 = 252$.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

  • rozpisać zadanie na etapy/scenariusze i wybrać mnożenie lub dodawanie;
  • obsłużyć ograniczenie „najciaśniejsze najpierw";
  • policzyć „co najmniej jeden" przez dopełnienie.

Ucz się tej jednostki z asystentem