Permutacje

🎯 Po co Ci to?

Osiem osób ustawia się do zdjęcia. Ile możliwych ustawień? Czterdzieści tysięcy trzysta dwadzieścia, i tę liczbę wyprodukujesz jednym symbolem: $8!$. Permutacje to „ustawianie wszystkiego, co mamy, w kolejce": najczystszy przypadek reguły mnożenia i okazja, by poznać silnię: funkcję, która rośnie szybciej niż cokolwiek, co dotąd widziałeś (tak, szybciej niż wykładnicza).

✅ Czego się nauczysz

• liczyć permutacje zbioru $n$-elementowego: $P_n = n!$;
• sprawnie operować silnią (skracanie ułamków z silniami);
• liczyć ustawienia z warunkami (bloki, brzegi).

📘 Wyjaśnienie

📐 DEFINICJA (permutacja): ustawienie wszystkich elementów zbioru w ciąg (kolejność jest istotą sprawy). Liczba permutacji zbioru $n$-elementowego: $$P_n = n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 2 \cdot 1$$ (czytaj: „$n$ silnia"). Przyjmujemy $0! = 1$.

Skąd wzór? Czysta reguła mnożenia: pierwsze miejsce w kolejce: $n$ kandydatów, drugie: $n-1$ (jeden już stoi), trzecie: $n-2$… Zdjęcie ośmiu osób: $8! = 40,320$. Talia $52$ kart: $52!$, liczba o $68$ cyfrach; tasując porządnie, niemal na pewno trzymasz układ kart, który nigdy wcześniej nie wystąpił w historii świata. Silnia rośnie obłędnie: $10! = 3{,}6$ mln, $15! > 10^{12}$, każdy kolejny element mnoży wszystko, co było (porównaj: wykładnicza mnożyła przez stałą, silnia przez coraz więcej).

Rachunek na silniach to głównie skracanie: $$\frac{10!}{8!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8!}{8!} = 90.$$ Nigdy nie wymnażaj silni „do końca", żeby potem dzielić; rozpisz większą do poziomu mniejszej i skróć (skracaj czynniki, nie składniki!). Ten ruch będzie chlebem powszednim §17.3–17.4.

Ustawienia z warunkami, dwa chwyty:

• Sklej blok. „Ala i Ola chcą stać obok siebie" (w ósemce): potraktuj parę jako jedną „superosobę": $7$ obiektów ustawiasz na $7!$ sposobów, a wewnątrz bloku para staje na $2!$ sposobów: $7! \cdot 2! = 10,080$.
• Najpierw miejsca specjalne. „Kapitan na początku": pierwsze miejsce ma $1$ opcję, reszta $7!$.

💭 Pomyśl: Na półce ustawiasz $5$ różnych książek. Ile ustawień? A ile, jeśli dwie z nich (tomy encyklopedii) muszą stać obok siebie w ustalonym porządku (tom I przed II)?

Sprawdź odpowiedź

$5! = 120$. Z blokiem w ustalonym porządku: sklejasz tomy w jeden obiekt ($4! = 24$) i nie mnożysz przez $2!$; porządek wewnątrz bloku jest narzucony. (Gdyby tomy mogły stać w dowolnej kolejności: $24 \cdot 2 = 48$.)

⚠️ Uwaga, pułapka

$n!$ to iloczyn od $n$ w dół do 1, nie „$n$ razy $n$". I nie ulegaj odruchowi $\frac{10!}{5!} = 2!$: silnia nie skraca się „po nazwach", tylko po rozpisaniu ($\frac{10!}{5!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 30,240$). Umowa $0! = 1$ nie jest kaprysem: pusty ciąg da się ustawić na dokładnie jeden sposób (nijak), a wzory z §17.3–17.4 dzięki temu działają bez wyjątków na brzegach.

📌 Najważniejsze w pigułce

• Permutacja = kolejka ze wszystkich elementów; $P_n = n!$; $;0! = 1$.
• Silnia rośnie szybciej niż wykładnicza (mnożnik rośnie z każdym krokiem); $52!$: tasowanie unikatowe w dziejach.
• Ułamki z silniami: rozpisz i skróć, nie wymnażaj.
• Warunki: sklejanie bloków ($\cdot$ porządki wewnętrzne) i obsadzanie miejsc specjalnych najpierw.

🎒 Zadania

1. Oblicz: $\frac{12!}{10!}$; $;\frac{7!}{3! \cdot 4!}$.
2. Na ile sposobów $6$ zawodników może zająć miejsca 1 do 6 w klasyfikacji (bez remisów)?
3. Czteroosobowa rodzina ustawia się do zdjęcia w szeregu, ale rodzice chcą stać na obu końcach. Ile ustawień?

Rozwiązanie krok po kroku

1. $\frac{12!}{10!} = 12 \cdot 11 = 132$; $;\frac{7!}{3! \cdot 4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{6} = 35$.

2. $6! = 720$.

3. Końce: rodzice na $2$ sposoby (kto z lewej); środek: dzieci na $2! = 2$ sposoby. Razem $2 \cdot 2 = 4$.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

• policzyć $n!$ i skrócić ułamek silni bez kalkulatora;
• zastosować chwyt bloku i miejsc specjalnych.

---