Wariacje
🎯 Po co Ci to?
Konkurs: dziesięciu finalistów, przyznajesz złoto, srebro i brąz. To nie permutacja (nie ustawiasz wszystkich, tylko trójkę) i nie zwykłe „wybierz trzech" (medale są różne: kolejność gra rolę). To trzeci model, wariacja: wybór z kolejnością. Druga odmiana (z powtórzeniami) policzy Ci wszystkie PIN-y i hasła świata.
✅ Czego się nauczysz
- rozróżniać i liczyć wariacje bez powtórzeń i z powtórzeniami;
- wyprowadzać oba wzory z reguły mnożenia (zamiast ich kuć);
- rozpoznawać wariacje w zadaniach (miejsca „różnej rangi").
📘 Wyjaśnienie
📐 DEFINICJA (wariacja $k$-wyrazowa zbioru $n$-elementowego): ciąg $k$ różnych elementów wybranych z $n$ (wybór + kolejność). Ich liczba: $$V_n^k = n \cdot (n-1) \cdots (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!}.$$
To reguła mnożenia w mundurze: złoto: $10$ kandydatów, srebro: $9$, brąz: $8$: $;V_{10}^3 = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$. Zapis $\frac{n!}{(n-k)!}$ mówi to samo skrótem („silnia urwana po $k$ czynnikach"; rozpisz i skróć jak w §17.2). Permutacja okazuje się przypadkiem szczególnym: $V_n^n = n!$; wybierasz wszystkich.
📐 DEFINICJA (wariacja z powtórzeniami): ciąg $k$ elementów z $n$-elementowej puli, w którym elementy mogą się powtarzać. Ich liczba: $$W_n^k = n^k.$$
Znowu mnożenie: każdy z $k$ etapów ma pełne $n$ opcji, bo pula się nie zużywa. PIN z §17.1 to $W_{10}^4 = 10^4$; test ABCD to $W_4^8 = 4^8$, słowo binarne długości $10$ to $2^{10} = 1024$ (informatyka mówi: $10$ bitów).
Jak rozpoznać wariację? Dwa pytania-filtry, które załatwiają cały dział (rozwiniemy je w §17.5): (1) czy kolejność/rola ma znaczenie? (medale, funkcje w zarządzie, miejsca na podium: TAK); (2) czy elementy mogą się powtarzać? (cyfry w PIN: tak; ludzie na podium: nie). Odpowiedzi wskazują wzór: (TAK, nie) → $V_n^k$; (TAK, tak) → $n^k$.
💭 Pomyśl: Klasa wybiera przewodniczącego, zastępcę i skarbnika spośród $25$ osób (jedna osoba, jedna funkcja). Ile możliwych zarządów?
Sprawdź odpowiedź
Funkcje są różne (kolejność ról!), osoby się nie powtarzają: $V_{25}^3 = 25 \cdot 24 \cdot 23 = 13,800$.
⚠️ Uwaga, pułapka
Słowo-pułapka: „wybierz trzy osoby na trzy różne funkcje" to wariacja, ale „wybierz trzy osoby do komisji" (funkcje nierozróżnialne), już nie: to kombinacja, bohaterka §17.4, i wynik będzie mniejszy. Zanim liczysz, zadaj test zamiany: „czy zamiana dwóch wybranych miejscami daje inny wynik?". Podium: tak (inne medale). Komisja: nie (ta sama komisja). Ten jeden test rozstrzyga.
📌 Najważniejsze w pigułce
- Wariacja = wybór $k$ z $n$ z kolejnością: $V_n^k = n(n-1)\cdots(n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!}$.
- Z powtórzeniami (pula się nie zużywa): $W_n^k = n^k$.
- Permutacja to wariacja pełna ($k = n$).
- Test zamiany: zamiana wybranych miejscami zmienia wynik? TAK → wariacja.
🎒 Zadania
- Ile trzyliterowych „słów" (dowolnych ciągów) można ułożyć z $24$ liter: (a) gdy litery mogą się powtarzać; (b) gdy wszystkie są różne?
- W turnieju gra $12$ drużyn. Na ile sposobów mogą rozłożyć się miejsca na podium?
- Ile jest liczb pięciocyfrowych zapisanych wyłącznie cyframi $1, 2, 3$ (cyfry mogą się powtarzać)? A ile z nich ma wszystkie cyfry różne?
Rozwiązanie krok po kroku
1. (a) $24^3 = 13,824$; (b) $24 \cdot 23 \cdot 22 = 12,144$.
2. $V_{12}^3 = 12 \cdot 11 \cdot 10 = 1320$.
3. $3^5 = 243$. Wszystkie różne: pięć różnych cyfr z puli trzech; niemożliwe (§13.3-owa dyscyplina istnienia: $k > n$ daje zero wariacji). Odpowiedź: $0$.
🔍 Sprawdź, czy umiesz
- wybrać między $V_n^k$ a $n^k$ pytaniem o powtórzenia;
- rozpoznać „różne role" jako sygnał kolejności.