Rozpoznać model
🎯 Po co Ci to?
Wzory z tego działu mieszczą się na karteczce. Mimo to zadania kombinatoryczne uchodzą za trudne, bo trudność nie jest rachunkowa, lecz diagnostyczna: które narzędzie wyjąć? Ta jednostka to trening rozpoznawania: algorytm dwóch pytań, tabela-ściąga i seria zadań, które celowo brzmią podobnie, a liczą się różnie. To też generalna próba przed Działem 18: prawdopodobieństwo będzie ułamkiem dwóch takich rachunków.
✅ Czego się nauczysz
- diagnozować model dwoma pytaniami (kolejność? powtórzenia?);
- rozkładać zadania złożone na etapy i scenariusze;
- używać chwytu dopełnienia („co najmniej" przez „ani razu").
📘 Wyjaśnienie
Algorytm dwóch pytań (plus zerowe: ilu wybieram? wszystkich czy część?):
| Kolejność gra rolę? | Powtórzenia możliwe? | Model | Wzór |
|---|---|---|---|
| TAK (wszyscy w kolejce) | (bez znaczenia) | permutacja | $n!$ |
| TAK | NIE | wariacja | $\frac{n!}{(n-k)!}$ |
| TAK | TAK | wariacja z powt. | $n^k$ |
| NIE | NIE | kombinacja | $\binom{n}{k}$ |
Pytanie o kolejność rozstrzygaj testem zamiany z §17.3 („zamiana dwóch wybranych: inny wynik?"), a o powtórzenia: pytaniem „czy pula się zużywa?". Sygnały językowe: ustaw, kolejność, funkcje, podium, kod → kolejność TAK; wybierz, komisja, drużyna, zestaw, skreśl → kolejność NIE.
Zadania złożone tnij na kawałki spajane regułami z §17.1: etapy mnożysz, scenariusze dodajesz, a każdy kawałek diagnozujesz osobno. Przykład: „spośród $6$ kobiet i $5$ mężczyzn wybierz czteroosobowy zespół z co najmniej trzema kobietami". Scenariusze rozłączne: dokładnie $3$ kobiety ($\binom{6}{3}\binom{5}{1} = 100$) albo dokładnie $4$ ($\binom{6}{4} = 15$): razem $115$.
Chwyt dopełnienia. „Co najmniej jeden…" bywa koszmarem wprost (wiele scenariuszy), a spacerkiem od tyłu: policz wszystkie możliwości minus te bez ani jednego. Ile pięcioliterowych ciągów z $24$ liter ma co najmniej jedną literę A? Wszystkich: $24^5$; bez A: $23^5$; odpowiedź: $24^5 - 23^5 = 1,526,281$. (To zaprzeczenie kwantyfikatora z §1.3: „co najmniej jeden" i „ani jeden" dzielą świat na dwie połowy bez szpar.)
💭 Pomyśl: Zdiagnozuj (bez liczenia!) trzy zadania: (a) ile sposobów rozsadzenia $5$ gości przy $5$ krzesłach; (b) ile tablic „3 litery z 24, potem 4 cyfry"; (c) ile sposobów wyboru $11$ piłkarzy z kadry $23$?
Sprawdź odpowiedź
(a) wszyscy + kolejność → permutacja $5!$; (b) etapy z powtórzeniami → $24^3 \cdot 10^4$; (c) sam skład → kombinacja $\binom{23}{11}$. (Diagnoza w trzy oddechy: rachunek to formalność.)
⚠️ Uwaga, pułapka
Największy sabotażysta: liczenie tej samej możliwości wielokrotnie. Klasyk: „wybierz $2$ osoby z $10$, najpierw jedną, potem drugą"; jeśli para ma być bez ról, $10 \cdot 9$ liczy każdą parę dwukrotnie (dziel przez $2!$, §17.4). Antidotum uniwersalne: wypisz trzy konkretne możliwości i sprawdź, czy Twój wzór nie liczy którejś z nich podwójnie: trzy przykłady wykrywają większość błędnych modeli szybciej niż godzina wpatrywania się we wzory (§1.5: kontrprzykład pracuje i tu).
📌 Najważniejsze w pigułce
- Dwa pytania: kolejność? (test zamiany) powtórzenia? (pula się zużywa?) → tabela wskazuje wzór.
- Złożone: etapy × , scenariusze + , każdy kawałek diagnozuj osobno.
- „Co najmniej" → dopełnienie: wszystkie minus „ani razu".
- Autotest trzech przykładów łapie podwójne liczenie.
🎒 Zadania
- Zdiagnozuj i policz: na ile sposobów można obsadzić $4$ różne role w przedstawieniu spośród $9$ chętnych?
- Rzucasz $10$ razy monetą i zapisujesz wyniki. Ile możliwych sekwencji? Ile z nich ma co najmniej jednego orła?
- Z talii $52$ kart ciągniesz $5$. Na ile sposobów można otrzymać dokładnie $2$ asy?
- Ile jest czterocyfrowych kodów PIN, w których żadne dwie sąsiednie cyfry nie są równe?
Rozwiązanie krok po kroku
1. Różne role → kolejność TAK, ludzie bez powtórzeń: $V_9^4 = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 3024$.
2. $2^{10} = 1024$. Co najmniej jeden orzeł = wszystkie minus same reszki: $1024 - 1 = 1023$.
3. Etapy-kombinacje: $2$ asy z $4$ i $3$ karty z pozostałych $48$: $\binom{4}{2}\binom{48}{3} = 6 \cdot 17,296 = 103,776$.
4. Pierwsza cyfra: $10$; każda następna: dowolna poza poprzednią, czyli $9$: $;10 \cdot 9^3 = 7290$.
🔍 Sprawdź, czy umiesz
- zdiagnozować model w trzech oddechach i uzasadnić wybór (nie „bo pasował wzór");
- zastosować dopełnienie do „co najmniej" i autotest trzech przykładów.