Prawdopodobieństwo klasyczne

🎯 Po co Ci to?

„Szansa pół na pół", „jeden do miliona": mówimy tak codziennie. Czas nadać tym frazom ścisłe znaczenie i metodę obliczania: gdy wszystkie wyniki są jednakowo możliwe, szansa to zwykły ułamek: sprzyjające przez wszystkie. Licznik i mianownik policzy Ci reguła mnożenia z Działu 17. W zakresie rozszerzonym, z kombinacjami w ręku, rozliczysz też Lotto z obietnicy „może tym razem".

✅ Czego się nauczysz

  • stosować klasyczną definicję: $P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$;
  • korzystać z własności: $P(A') = 1 - P(A)$ i wzoru na sumę zdarzeń;
  • łączyć prawdopodobieństwo z regułą mnożenia (kostki, monety, kody, losowanie osób);
  • (rozszerzenie) liczyć prawdopodobieństwa z kombinacjami (karty, losowania, Lotto).

📘 Wyjaśnienie

📐 DEFINICJA (prawdopodobieństwo klasyczne): jeśli wszystkie zdarzenia elementarne w $\Omega$ są jednakowo prawdopodobne, to $$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} \qquad \text{(liczba sprzyjających przez liczbę wszystkich).}$$

Od razu widać ramy: $0 \le P(A) \le 1$ (od niemożliwego do pewnego), $P(\Omega) = 1$, $P(\emptyset) = 0$. Prawdopodobieństwo $0{,}5$ to „pół na pół", $0{,}01$ to „raz na sto". Kostka: $P(\text{parzysta}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. Dwie kostki i suma $7$ (z §18.1): $P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

Trzy własności-dźwignie:

  • Zdarzenie przeciwne: $P(A') = 1 - P(A)$, bo $A$ i $A'$ dzielą $\Omega$ bez reszty. To rachunkowa wersja dopełnienia: „co najmniej jeden orzeł w $10$ rzutach" $= 1 - P(\text{same reszki}) = 1 - \frac{1}{1024}$.
  • Suma zdarzeń: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$; odejmujemy część wspólną, policzoną w obu składnikach (włączenia-wyłączenia; dla wykluczających się po prostu suma).
  • Monotonia zdrowego rozsądku: więcej sprzyjających → większe $P$; wynik $> 1$ lub $< 0$ = błąd rachunku, zatrzymaj się.

Kombinatoryka wchodzi do gry, gdy $\Omega$ jest wielka. Pięć kart z talii $52$: $|\Omega| = \binom{52}{5}$. Prawdopodobieństwo „dokładnie $2$ asy": licznik: $\binom{4}{2}\binom{48}{3}$, więc $$P = \frac{\binom{4}{2}\binom{48}{3}}{\binom{52}{5}} = \frac{103,776}{2,598,960} \approx 0{,}04.$$ I obiecane Lotto: trafienie szóstki to jeden kupon z $\binom{49}{6} = 13,983,816$: $P \approx 0{,}00000007$; siedem stumilionowych. Dla porównania: to mniej więcej tyle, co szansa wyrzucenia orła dwadzieścia cztery razy z rzędu.

💭 Pomyśl: Rzucasz dwiema kostkami. Co bardziej prawdopodobne: suma $7$ czy suma $10$? Odpowiedz licząc, nie czuciem.

Sprawdź odpowiedź

Suma $7$: $6$ par (policzone w §18.1), $P = \frac{6}{36}$. Suma $10$: ${(4,6),(5,5),(6,4)}$, tylko $3$ pary, $P = \frac{3}{36}$. Siódemka wygrywa dwukrotnie, bo ma najwięcej rozkładów. (Gracze w kości wiedzieli to wieki przed teorią.)

⚠️ Uwaga, pułapka

Definicja klasyczna wymaga wyników jednakowo prawdopodobnych, i tu leży słynny błąd. „Rzucam dwiema monetami; wyniki to: dwa orły, dwie reszki, po jednym, więc każdy po $\frac{1}{3}$"? Nie: prawdziwe $\Omega$ ma cztery jednakowo możliwe wyniki ($OO, OR, RO, RR$), a „po jednym" skleja dwa z nich, jego szansa to $\frac{2}{4}$, nie $\frac{1}{3}$. (Na tym błędzie połamał sobie pióro sam d'Alembert, wielki matematyk XVIII wieku.) Zasada: buduj $\Omega$ z wyników rozróżnialnych, nawet gdy wyglądają identycznie.

🕰️ Skąd to się wzięło

Rachunek prawdopodobieństwa urodził się przy stole hazardowym: w 1654 r. zawodowy gracz kawaler de Méré zadał Pascalowi pytania o sprawiedliwy podział puli przerwanej gry, a korespondencja Pascala z Fermatem (tym od twierdzenia z marginesu) stworzyła nową dziedzinę. Formalne aksjomaty (te ramy $0 \le P \le 1$ i addytywność) nadał jej dopiero Kołmogorow w 1933 r. Od kości do aksjomatów minęło więc prawie trzysta lat; Tobie wystarczą dwa działy.

📌 Najważniejsze w pigułce

  • $P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$, tylko przy wynikach jednakowo prawdopodobnych (buduj $\Omega$ z rozróżnialnych!).
  • $0 \le P \le 1$; $;P(A') = 1 - P(A)$ (dźwignia „co najmniej").
  • $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
  • Liczniki i mianowniki: reguła mnożenia z §17.1 (dwie kostki: $6 \cdot 6 = 36$ wyników).
  • (R) Wielkie $\Omega$ → kombinacje z Działu 17; Lotto $\approx 7 \cdot 10^{-8}$.

🎒 Zadania

  1. Z talii $52$ kart losujesz jedną. Oblicz: $P(\text{as})$, $P(\text{kier})$, $P(\text{as lub kier})$.

  2. Rzut dwiema kostkami. Oblicz prawdopodobieństwo, że iloczyn oczek jest parzysty. (Dopełnienie!)

  3. W urnie: $4$ kule białe, $6$ czarnych. Losujesz $2$ naraz. Oblicz $P(\text{obie białe})$.

  4. Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród $5$ kart z talii nie będzie ani jednego pika.

Rozwiązanie krok po kroku

1. $P(\text{as}) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$; $;P(\text{kier}) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$; suma: $\frac{4}{52} + \frac{13}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$ (as kier liczony raz).

2. Iloczyn nieparzysty $\iff$ obie nieparzyste: $\frac{3 \cdot 3}{36} = \frac{1}{4}$. Stąd $P(\text{parzysty}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

3. $\frac{\binom{4}{2}}{\binom{10}{2}} = \frac{6}{45} = \frac{2}{15}$.

4. $\frac{\binom{39}{5}}{\binom{52}{5}} = \frac{575,757}{2,598,960} \approx 0{,}22$: mniej więcej co piąta ręka bez pika.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

  • policzyć $P$ z definicji, budując poprawną $\Omega$;
  • użyć dopełnienia i wzoru na sumę bez podwójnego liczenia.

Ucz się tej jednostki z asystentem